高校受験の関数 | 関数の森～中学生・高校生のためのやさしい関数ナビ～ https://wadknoroom.com 中学生・高校生のためのやさしい関数ナビ Thu, 13 Nov 2025 03:49:55 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=7.0 https://wadknoroom.com/wp-content/uploads/2025/10/cropped-16c6a4a5467af040ef999e3ea95f6451-32x32.png 高校受験の関数 | 関数の森～中学生・高校生のためのやさしい関数ナビ～ https://wadknoroom.com 32 32 関数の森：学年横断・関数の演習まとめ https://wadknoroom.com/matome-all/ https://wadknoroom.com/matome-all/#respond Thu, 23 Oct 2025 03:01:21 +0000 https://wadknoroom.com/?p=3496 中学では、1年生で「比例・反比例」、2年生で「一次関数」、3年生で「二次関数」を学習します。
それぞれ別の単元に見えますが、実はどれも共通する考え方や処理の上に成り立っています。

たとえば、

  • 関数の式の求め方
  • 変化の割合の求め方
  • 点の求め方
  • 変域の求め方

などがそうです。

このシリーズでは、こうしたテーマを学年をこえて整理し、理解のつながりを見える形にしています。
高校受験の対策はもちろん、「途中でつまずいた」「もう一度しっかり理解したい」という人にもおすすめです。

どの記事から読んでも大丈夫なので、気になるところから読んでみてください。

定期テスト向けの記事や、各単元個別の記事をお探しの方はこちらを参考にしてください。

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他の記事は作成中です。

おわりに

このシリーズで扱う内容は、実は中学・高校を通して共通する「関数の基本操作」です。
つまり、高校以降の関数でも、同じ考え方や手順が求められます。

だからこそ、中学のうちにしっかりと流れを理解しておくことが大切です。
今は少しむずかしく感じるところも、意味をたどっていけば必ずつながっていきます。

受験を通じて、関数の基本操作に少しずつ慣れ、自信を持って使いこなせるようになっていきましょう。

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そんな経験ないですか。

高校入試では、関数の式を求める問題がほぼ毎年出ます。
中1の比例・反比例、中2の一次関数、中3の二次関数――。
学年ごとに分かれて学ぶので、つながりをつかみにくい人も多いです。

でも実は、考え方の流れはどれも同じ。
まとめて整理すれば、得点しやすい範囲です。

今回は、比例・反比例・一次関数・二次関数の式の求め方をまとめて解説します。

関数の式｜求め方の流れ

どんな関数であっても、関数の式は次の手順で求められます。

  1. 関数の式を一般形でおく
  2. ①でおいた式に、与えられた\(x\)、\(y\)を代入する

関数によって違うのは、①の「一般形の置き方」だけです。
だから、ここがしっかり整理できれば、関数の式の求め方で迷うことはなくなると思います。

関数の式｜関数ごとの一般形

関数の式の一般形は、次の表の通りです。

関数の種類一般形備考
比例\(y=ax\)「原点を通る直線」という言い方もある。
反比例\(\displaystyle y = \frac{a}{x}\)分母・分子の位置に注意。
一次関数\(y=ax+b\)条件の与えられ方で3パターンある。
二次関数\(y=ax^2\)中3の範囲で取り扱うのは、\(x\)の2乗に比例する関数のみ。

この表は覚えなくても大丈夫です。
頭の中を整理して、問題を解いていけばできるようになってきます。

関数の式｜解き方の選択方法

求め方の流れと、関数ごとの一般形を踏まえると、関数の式の求め方は次の通りになります。

  • 「比例する」「原点を通る直線」
    ⇒\(y=ax\)を立てて\(a\)を求める
  • 「反比例する」
    ⇒\(\displaystyle y = \frac{a}{x}\)を立てて\(a\)を求める
  • 「一次関数」「直線」
    • 通る2点がわかる場合
      ⇒\(y=ax+b\)を立てて2点を代入
    • 傾きと通る1点がわかる場合
      ⇒\(y=ax+b\)に傾きを代入して\(b\)を求める
    • 切片と通る1点がわかる場合
      ⇒\(y=ax+b\)に切片を代入して\(a\)を求める
  • 「\(x\)の2乗に比例する」
    ⇒\(y=ax^2\)を立てて\(a\)を求める

関数の式｜求め方を例題で見てみよう

例題1｜比例

\(y\)は\(x\)に比例する。
\(x=3\)のとき\(y=6\)であるとき、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

解説

\(y\)は\(x\)に比例するので、一般形は

\(y=ax\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=6\)を代入して

\(6=3a\)
\(a=2\)

よって、求める式は

\(y=2x\)

他には、「点(3,6)を通り、原点を通る直線の式を求めよ」のような問題や、グラフと通る点を図に描いてある問題もあります。

例題2｜反比例

\(y\)は\(x\)に反比例する。
\(x=3\)のとき\(y=1\)であるとき、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

解説

\(y\)は\(x\)に反比例するので一般形は

\( \displaystyle y=\frac{a}{x}\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=1\)を代入して

\( \displaystyle 1=\frac{a}{3}\)
\(a=3\)

よって、求める式は

\( \displaystyle y=\frac{3}{x}\)

例題3｜一次関数（2点が与えられている）

2点(2,4),(6,－8)を通る直線の式を求めなさい。

解説

直線の式なので、一般形は

\(y=ax+b\)

とおける。
これに\(x=2\)、\(y=4\)と\(x=6\)、\(y=-8\)を代入して

\(4=2a+b\)…①
\(-8=6a+b\)…②

①－②
\(12=-4a\)
\(a=-3\)

①に\(a=-3\)を代入して
\(4=-6+b\)
\(b=10\)

よって、求める直線の式は

\(y=-3x+10\)

例題4｜一次関数（傾きがわかっている）

点(－2,3)を通り\(y=-2x+1\)を求めなさい。

解説

2直線が平行
＝2直線の傾きが等しい

\(y=-2x+1\)に平行
⇒求める直線の傾きは－2
よって求める直線は

\(y=-2x+b\)

とおける。
これに\(x=-2\)、\(y=3\)を代入して

\(3=4+b\)
\(b=-1\)

よって求める関数の式は
\(y=-2x-1\)

他には「傾きが2のとき」「変化の割合が2のとき」のような条件のときもあります。

例題5｜一次関数（切片がわかっている）

点(3,7)を通り切片が1の直線を求めなさい。

解説

切片が1の直線の一般形は

\(y=ax+1\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=7\)を代入して

\(7=3a+1\)
\(3a=6\)
\(a=2\)

よって求める直線の式は

\(y=2x+1\)

例題6｜二次関数

\(y\)は\(x\)の2乗に比例する。
\(x=2\)のとき\(y=8\)であるとき、\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

解説

\(y\)は\(x\)の2乗に比例するので、一般形は

\(y=ax^2\)

とおける。
これに\(x=2\)、\(y=8\)を代入すると

\(8=4a\)
\(a=2\)

よって、求める式は

\(y=2x^2\)

おわりに

今回の記事は、関数の式の決定についてでした。

関数の式の決定は

  1. 関数の式を一般形でおく
  2. ①でおいた式に、与えられた\(x\)、\(y\)を代入する

の手順で求められ、最初の一般形の置き方を整理しておくと、ほぼすべての問題が解けるようになります。

関数の式がスムーズに立てられるようになると、入試の大問でも一気に得点源になります。
「式を立てる→代入する」という流れを体にしみこませておきましょう！

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そんなふうに感じたことはありませんか？

中2で習う一次関数のときは理解できていたのに、少し時間がたつと「どうやって計算するんだっけ」と迷いやすい単元です。

でも、変化の割合は一次関数に限った考え方ではなく、反比例や二次関数などにも使われる、とても大切な考え方です。

この記事では、そんな変化の割合を

  • 意味
  • 計算方法
  • 応用へのつながり

の3ステップで、わかりやすく整理していきます。

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変化の割合とは

変化の割合の定義、公式、意味は次の通りです。

  • 定義
    \(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合
  • 公式
    \(\displaystyle　(変化の割合)= \frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)
    ※増加量は
    　(変化後の値)－(変化前の値)
  • 意味
    2点間の変化の割合は、その2点を結ぶ直線の傾き

次に、これを踏まえて、実際にどんな計算をするのかを見ていきます。

一次関数のときに、「変化の割合=一次関数の傾き」みたいな覚え方をする人が多いですが、それだけだとなかなか応用が利きません。
変化の割合の意味と計算方法をしっかり押さえてください。

公式の意味まで戻って理解したい方は一次関数、変化の割合とは？を参考にしてください。

変化の割合｜表を使った計算方法

変化の割合の計算では、\(x\)の増加量、\(y\)の増加量を表にまとめると、考えを整理するのに大変役立ちます。

実際の問題で見てみましょう。

例題1（表を使った変化の割合の計算）

点(3,－1)から点(5, 3)に変化するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x\)、\(y\)の変化をまとめると次の表の通り。

変化前変化後増加量
\(x\)：35⇒2
(=5－3)
\(y\)：－13⇒4
(=3－(－1))

よって、公式より変化の割合は

\(\displaystyle \frac{4}{2}=2\)

変化の割合に限らずですが、前後の変化を整理したいときに、表はとても役立ちます。

一次関数では、この変化の割合がどうなっていたのかを見ていきます。

変化の割合｜一次関数の場合

まず、一次関数の変化の割合を考えていきます。

例題2（一次関数の変化の割合）

一次関数\(y=2x-3\)において、\(x\)が－1から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x=-1\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times (-1) -3 =-5\)

\(x=4\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times 4 -3 =-5\)

変化前変化後増加量
\(x\)：－14→5
\(y\)：－55→10

よって変化の割合は
\(\displaystyle \frac{10}{5}=2\)

この問題を解いてわかる通り、一次関数の場合は、変化の割合とグラフの傾きは一致します。

ここまでが、中2で変化の割合を学習したときに出てくる話です。
次は、この変化の割合を反比例や二次関数で使った問題を取り扱います。

変化の割合｜反比例、二次関数への応用

関数が一次関数でなくても、考え方に変わりはありません。
反比例の式で、変化の割合を考えてみます。

例題3（一次関数以外の変化の割合）

反比例の式\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)において、\(x\)が2から6まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x=2\)を\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)に代入して
\(\displaystyle y=\frac{12}{2}=6\)

\(x=6\)を\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)に代入して
\(\displaystyle y=\frac{12}{6}=2\)

変化前変化後増加量
\(x\)：26→4
(=6－2)
\(y\)：62→－4
(=2－6)

よって変化の割合は
\(\displaystyle \frac{-4}{4}=-1\)

一次関数の変化の割合を計算したときと、手順は何も変わりません。
難しそうに見えても、実は基本と変わらないということはよくあります。

次は、二次関数の変化の割合を考えてみます。
今度は、文字が入ったときの処理の仕方も見ていきます。

一見難しそうに見えますが、今までとほとんど同じ解き方で解けます。

例題4（一次関数以外の変化の割合、文字が入った場合）

2次関数\(y=ax^2\)において、\(x\)が－2から1に変化するときの変化の割合が3である。
\(a\)の値を求めなさい。

解説

文字が入っていても、これまでと同じように計算していきます。

\(x=-2\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (-2)^2 =4a\)

\(x=1\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (1)^2 =a\)

変化前変化後増加量
\(x\)：－21→3
(=1－(－2))
\(y\)：\(4a\)\(a\)→\(－3a\)
(=\(a-4a\))

よって変化の割合は

\(\displaystyle \frac{-3a}{3}=-a\)

条件より変化の割合が3であるので

\(-a=3\)
\(a=-3\)

解説を読んでわかるけど、自分で手を動かそうとするとわからないというときは、逆算思考で考える変化の割合を読んでみてください。
考え方の順序を整理しています。

おわりに

この記事では、変化の割合の「意味」と「計算のしかた」、
そして反比例・二次関数へのつながりを確認しました。

変化の割合は、数字を計算するだけのものではなく、
「どのくらい変わったのか」を比べるものの見方そのものです。

一次関数の傾きとして覚えるだけでなく、
「変化を比べる考え方」としてとらえると、
この先の関数の学習でも迷わずに進めるようになります。

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こんな経験ないでしょうか？

高校受験の大問では、ほとんどと言っていいほど出題される関数の問題。
その途中で、必ずグラフ上の点を求める小問が出ます。

しかし、塾講師のころ、計算の手順が整理できていなくて、すっと解き方が出てこず、手が止まってしまう生徒もときどき見かけました。

この記事では、グラフ上の点の求め方について、くわしく解説していきます。

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グラフ上の点の求め方の基本

グラフ上で、計算で求めることのできる点は、

  • グラフ上の点で\(x\)座標または\(y\)座標がわかっている点
  • グラフの交点

のどちらかです。

まず、「グラフ上の点で\(x\)座標または\(y\)座標がわかっている点」について見ていきましょう。

グラフは、「関数の式を満たす\(x\)、\(y\)の集まりである」ということを押さえておくと、説明もすっと入りやすいと思います。

関数の式を使って点を求める方法（xやyがわかっているとき）

グラフは、関数の式を満たす点の集まりです。
だから、

  • 関数の式に\(x\)座標を代入
    ⇒その点の\(y\)座標が計算で求まる
  • 関数の式に\(y\)座標を代入
    ⇒その点の\(x\)座標が計算で求まる

ということが言えます。
（次の図を参照）

グラフ上の点の求め方

一次関数のx軸上の点

気をつけたいのが、直線の\(x\)軸上の点です。

\(x\)軸は\(y=0\)と表されるため、一次関数の式に\(y=0\)を代入して計算すると求めることができます。
（次の図を参照）

一次関数とx軸上の点

ときどき\(x=0\)とする人がいるので注意してください。

交点の求め方

2つのグラフの交点を求めるときは、グラフの式を連立させてください。

グラフの交点は、2つのグラフが重なる点です。
言い換えると、2つの式を同時に満たす点のことです。

つまり、その交点の座標 \((x,y)\)は、どちらの式に代入しても同じ値になる組み合わせになります。

だから、交点は「2つの式を連立して解く」ことで求められるんです。
これには、関数の式の種類は関係なく、反比例、一次関数、二次関数、どんな関数であっても、連立させれば交点は求まります。

関数の式は「y=〇」の形になっているので、代入法で解くといいですよ。

例題で確認しよう

例題1（一次関数のグラフの点）

次の図の、\(a\)を求めなさい。

一次関数のグラフ上の点
解説

点Aは、\(y=2x-1\)のグラフ上の、\(x=2\)の点なので
\(y\)座標は、\(y=2x-1\)に\(x=2\)を代入すると求められる

\(y=2 \times 2-1=3\)

\(a\)は点Aの\(y\)座標なので

\(a=3\)

例題2（一次関数の\(x\)軸の点）

次の図の、点Aを求めなさい。

一次関数とx軸の交点
解説

点Aは\(x\)軸上の点だから、\(y\)座標は0
\(y=-x+2\)に\(y=0\)を代入すると
\(0=-x+2\)
\(x=2\)

よって求める座標は\(2,0\)

例題3（二次関数のグラフの点）

次の図の、\(a\)を求めなさい。
ただし、\(a<0\)とする。

2次関数のグラフ上の点
解説

点Aは、\(y=2x^2\)のグラフ上の、\(y=2\)の点なので
\(x\)座標は、\(y=2x^2\)に\(y=2\)を代入すると求められる

\(2=2x^2\)
\(x^2=1\)
\(x= \pm 1\)

\(a\)は点Aの\(x\)座標で、\(a<0\)なので

\(a=-1\)

例題4（一次関数どうしの交点）

次の図の、点Pを求めなさい。

一次関数のグラフ同士の交点
解説

\(y=2x+1\)と\(y=-x-2\)の交点
⇒\(y=2x+1\)と\(y=-x-2\)を連立

\(y=2x+1\)…①
\(y=-x-2\)…②

①を②に代入して

\(2x+1=-x-2\)
\(3x=-3\)
\(x=-1\)

①に\(x=-1\)を代入して
\(y=-1\)

よって点P(－1,－1)

例題5(一次関数と二次関数の交点）

次の図の、点P、Qを求めなさい。

一次関数と二次関数のグラフの交点
解説

\(y=x^2\)と\(y=-x+2\)の交点
⇒\(y=x^2\)と\(y=-x+2\)を連立

\(y=x^2\)…①
\(y=-x+2\)…②

①を②に代入して

\(x^2=-x+2\)
\(x^2+x-2=0\)

因数分解して

\((x+2)(x-1)=0\)
\(x=-2,1\)

それぞれ①に代入して

\(x=-2\)のとき\(y=4\)
\(x=1\)のとき\(y=1\)

よってP(－2, 4)、Q( 1, 1)

おわりに

点を求める問題は

  • グラフ上の点で\(x\)、\(y\)のどちらかがわかっている
    ⇒グラフの式に代入
  • 2つのグラフの交点
    ⇒グラフの式を連立

のどちらかです。

小問としての出題はもちろん、難しい問題を解くときにも必要になる操作です。
ここができるようになると、得点もアップしますし、関数の難しい問題の見え方も変わってきます。
がんばってください。

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