「符号ミスでいつも答えが合わない…」「係数を揃えるのが面倒…」と苦手意識を持っている人もいるかもしれません。

この記事では、連立方程式の加減法を「手順」「注意点」「工夫」の3つの視点から徹底解説します。
さらに、レベル別の豊富な演習問題を通じて、あなたの習熟度に合わせて確実にスキルアップできるよう構成しました。

単に解き方を覚えるだけでなく、「どうすればミスなく、素早く解けるか」を自分で試行錯誤するヒントも紹介します。

この記事を最後まで読み終えるころには、連立方程式の加減法を自在に使いこなし、自信を持ってテストに臨めるようになっているはずです。

連立方程式の加減法の手順と注意点（前提知識）

連立方程式の加減法は、次の順で考えます。

最初に係数をそろえるとき、どちらの文字をそろえてもいいです。

ただ、計算を工夫する余地はたくさんあります。
たとえば、次のような工夫が考えられます。

• できるだけ数字が大きくならないようにすると、スムーズに計算しやすいです。
• 足し算が計算しやすい
  ⇒異符号の文字を消去する
  引き算が計算しやすい
  ⇒同符号の文字を消去する
• 先頭の項の消去があまり好きではない
  ⇒2番目の項から消去する

どれも厳密なルールではないので、
自分なりに計算しやすい方法を見つけてください。

あえて、「これがおすすめ」みたいなことは言いません。
こういうところで、ちゃんと試行錯誤をすることが、勉強を意義のあるものにしてくれますよ。

加減法で起こしやすいミス

加減法のミスのほとんどは、この2つのどちらかです。
計算するときは、必ず注意して計算するようにしましょう。

連立方程式の加減法を例題で理解

【解説】

• \(b\)から消去する
  ⇒\(b\)の係数をそろえる
  ⇒式①の両辺に2、式②の両辺に3をかける
• 係数が異符号
  ⇒2式を足し算する

\(4a+6b=-2\)…①’（①×2）
\(9a-6b=15\)…②’（②×3)

①’＋②’のひっ算をすると

\(13a=13 \\ a = 1\)

①に\(a\)の値を代入して
\(2+3b=-1 \\ 3b=-3 \\ b = -1\)

ぼく個人で言えば、後ろを消去する方が慣れているので、
特に大きな違いがなければ、第2項から消去しています。

連立方程式の検算（代入法の演習記事でも同じことを書いています）

連立方程式では、最後に代入した式と違う方の式に（例題では式②）に代入すると、答えが正しいかどうかを確認できます。
代入しても等式が成立すれば、それが正しい答えであるとわかります。

実際に、例題で\(a=1,b=-1\)を式②に代入すると
\(2 \times 1 -3 \times(-1) =5\)

となり式②が成り立つので、
\(a=1,b=-1\)が正しい答えであると確認できます。

レベル別の演習問題で加減法をマスター！

足し算、引き算のひっ算に慣れよう

解説

• \(x\)の係数の数字がそろっている
  ⇒\(x\)から消去する
• 係数が異符号
  ⇒2式を足し算する

①＋②のひっ算をすると

\(4y=8 \\ y=2\)

①に\(y\)の値を代入して
\(-2x+2=6 \\ -2x=4 \\ x=-2\)

よって\(x=-2,y=2\)

解説

• \(b\)の係数の数字がそろっている
  ⇒\(b\)から消去する
• 係数が同符号
  ⇒2式を引き算する

①－②のひっ算をすると

\(-2a=-6 \\ a=3\)

①に\(a\)の値を代入して
\(3+b=5 \\ b=2\)

よって\(a=3,b=2\)

一次関数の式を求めるときは、こういう\(b\)がそろった連立方程式を解いて求めます。

係数をそろえる操作に慣れよう

解説

②式の\(y\)の係数が1
⇒\(y\)の係数をそろえる
⇒②の両辺に2をかける

\(5x+2y=3\)…①
\(6x-2y=8\)…②’（②×2）

①＋②’のひっ算をすると

\(11x=11 \\ x=1\)

①に\(x\)の値を代入して
\(5+2y=3 \\ 2y=-2 \\ y=-1\)

よって\(x=1,y=-1\)

係数が1の文字があるときは、そちらから消去するとはやいです。

解説

• ②式の\(b\)の係数が1
  ⇒\(b\)の係数をそろえる
  ⇒②式の両辺に3をかける

\(5a+3b=-4\)…①
\(-6a+3b=-15\)…②’（②×3）

①－②’のひっ算をすると

\(11a=11 \\ a=1\)

①に\(a\)の値を代入して
\(5+3b=-4 \\ 3b=-9 \\ b=-3\)

よって\(a=1,b=-3\)

この計算の、\(a\)の項や、定数項のように、負の数をひき算をするときに計算ミスが起こりやすいです。

係数をそろえる操作をマスターしよう

解説

• \(x,y\)のどちらでそろえてもよいが、係数が小さいものでそろえる方が計算しやすいことが多い
  ⇒(x\)の係数をそろえる
  ⇒①の両辺に3、②の両辺に2をかける

\(6x+15y=-24\)…①’（①×3）
\(6x+4y=-2\)…②’（②×2)

①－②’のひっ算をすると

\(11y=-22 \\ y=-2\)

①に\(x\)の値を代入して
\(2x-10=-8 \\ 2x=2 \\ x=1\)

よって\(x=1,y=-2\)

一方の文字を求めた後、もうひとつの文字を求めるために代入するときは、変形前の①か②に代入した方がよいです。
①’、②’に変形するときの計算で間違っている可能性もあるからです。
答えを最後まで求めたあとに、元の式の①か②で検算すれば、変形中のミスも見つけることができます。

解説

• \(b\)をそろえる
  ⇒式①の両辺に2、式②の両辺に5をかける

\(12a+10b=-14\)…①'(①×2)
\(25a－10b=-60\)…②’（②×5）

①’＋②’のひっ算をすると

\(37a=-74 \\ a=-2\)

①に\(a\)の値を代入して
\(-12+5b=-7 \\ 5b=5 \\ b=1\)

よって\(a=-2,b=1\)

この計算の、\(a\)の項や、定数項のように、負の数をひき算をするときに計算ミスが起こりやすいです。

分数係数の問題で、加減法を自由自在に！

解説

分数は考えにくいので、両辺に同じ数をかけて分母をはらう
⇒式①の両辺に2をかける

\(x+2y=4\)…①’（①×2）
\(2x+3y=7\)…②

①’の式の\(x\)の係数が1
⇒\(x\)をそろえる
⇒式①の両辺に2をかける

\(2x+4y=8\)…①”（①’×2）
\(2x+3y=7\)…②

①”－②のひっ算をすると

\(y=1\)

②に\(y\)の値を代入して
\(2x+3=7 \\ 2x=4 \\ x=2\)

よって\(x=2,y=1\)

解説

②式の分数をはらう
⇒②式の両辺に6をかける

\(2a+3b=13\)…①
\(3a+2b=12\)…②’（②×6）

\(b\)の係数をそろえる
⇒①の両辺に2、②’の両辺に3をかける

4a+6b=26…①’（①×2）
9a+6b=36…②”（②’×3）

①’－②”のひっ算をすると

\(-5a=-10 \\ a=2\)

①に\(a\)の値を代入して
\(4+3b=13 \\ 3b=9 \\ b=3\)

よって\(a=2,b=3\)

両辺へのかけ算をするタイミングが3回もあります。
それだけかけ忘れやすくなるので、注意してください。

おわりに

この記事では、連立方程式の加減法について、基本手順から、ミスしやすいポイント、そして分数係数を含む応用問題まで、幅広く解説しました。

重要なのは、「これが正解」と決められた解き方に固執せず、自分にとって最も計算しやすい方法を見つけることです。
特に、係数を揃える操作や、足し算・引き算の符号の扱いは、慣れが求められます。

レベル別演習でたくさん手を動かし、ご紹介した工夫や検算方法を試しながら、加減法をあなたの強力な武器にしてください。

連立方程式には、今回扱った「加減法」の他に「代入法」という解き方もあります。
それぞれの特徴を理解し、問題に合わせて使い分けられるようになると、連立方程式のマスターは完了です。

次のステップとして、代入法についても演習してみましょう。

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一次関数の式の決定は、一見ややこしそうに見えます。
でも、実は式の求め方は、「一般形で置く⇒代入する」という基本からできており、
出題パターンがほとんど決まっています。
だから、しっかりパターンを押さえれば、一次関数の中でも得点しやすいところです。

今回の記事では、一次関数の式の求め方を、パターン別にわかりやすく解説していきます。

直線の式は、一部の例外を除けばすべて一次関数なので、「直線の式」と「一次関数の式」は同じ意味と思ってもらって大丈夫です。

一次関数（直線）の式ってどうやって求めたらいい？

【3パターン】一次関数の式の求め方

一次関数の式を求める問題の出題パターンと解き方は、大きく次の3つに分けられます。

関数の式の求め方の基本方針

どんな関数でも、関数の式は次の流れで求められます。

1. 関数の式を一般形でおく
2. ①の式に\(x\)、\(y\)を代入する

この2ステップは、どんな関数でも共通です。
つまり、「まず形を決めて、あとから中身を決める」という流れです。
一次関数の式の求め方も、この基本にそって求めます。

それぞれのパターンを例題で見ていきましょう。

通る2点がわかっている直線の求め方

一番シンプルでよくあるパターンです。
代入したときに、必ず\(b\)があるので、連立方程式を解くときに、
加減法で\(b\)を消去してしまうと計算しやすいです。

【解説】

求める式は
\(y=ax+b\)
とおける

\(x=-1\)、\(y=6\)を代入すると
\(6=-a+b\)…①

\(x=2\)、\(y=3\)を代入すると
\(3=2a+b\)…②

\(\begin{array}{l} -a+b=6 …① \\ 2a+b=3 …② \end{array}\)

①－②を計算すると
\(-3a=3\)
\(a=-1\)

①に\(a=-1\)を代入すると
\(1+b=6\)
\(b=5\)

よって、\(a=-1\)、\(b=5\)
これを元の式に代入して

\(y=-x+5\)

切片と通る1点がわかっている直線の求め方

次は、切片がわかっている問題です。
切片を表すには、いろいろな言い方があります。
次に一例を示すので、違う聞き方をされても、焦らずに考えてください。

• 切片
• \(y\)軸と◯の位置で交わる
• 点\((0,b)\)を通る

【解説】

切片が－2なので、求める式は
\(y=ax-2\)…①
とおける。

①に\(x=4\)、\(y=6\)を代入して
\(6=4a-2\)
\(4a=8\)
\(a=2\)

これを①に代入して
\(y=2x-2\)

傾きと通る1点がわかっている直線の求め方

今度は、傾きがわかっている問題です。

傾きにも、言い方がいくつかあります。

• 傾き
• 変化の割合
• 他の直線と平行

特に「他の直線と平行」という言い方は、忘れやすいので注意してください。
「平行＝傾きが等しい」という意味です。

直線\(y=-2x+4\)と平行
⇒直線\(y=-2x+4\)と傾きは同じ
⇒傾きが－2

だから、求める式は
\(y=-2x+b\)…①
とおける

①に\(x=4\)、\(y=6\)を代入して
\(6=-8+b\)
\(b=14\)
\(y=-2x+14\)

一次関数（直線）の式を考えるときの思考ロジック

「一次関数（直線）の式を求めたい⇒条件2つを探す（点2つ、切片と点、傾きと点）」という思考の型を身に着けてください。

特に応用問題では、式を求めた後、その式を使って問題を解いていくことがほとんどです。
そのため、一次関数の式の求め方で迷わないようにしておくと、応用問題にも焦らずに対処できるようになります。

おわりに

今回は一次関数の式の求め方を整理しました。

基本の流れは「一般形で置く ⇒ 条件を代入して式を解く」です。
条件の与えられ方によって、求め方は次の3パターンに分かれます。

• 通る2点がわかっている
• 切片と通る1点がわかっている
• 傾きと通る1点がわかっている

このパターンを押さえておけば、一次関数の式は迷わず求められます。
また、入試でも頻出の分野なので、しっかり理解しておくと応用問題にも対応しやすくなります。

まずは例題を繰り返し解いて、手順を定着させましょう。
基本を押さえれば、得点しやすい範囲なのでがんばってください。

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