高校入試では、関数の式を求める問題がほぼ毎年出ます。
中1の比例・反比例、中2の一次関数、中3の二次関数――。
学年ごとに分かれて学ぶので、つながりをつかみにくい人も多いです。

でも実は、考え方の流れはどれも同じ。
まとめて整理すれば、得点しやすい範囲です。

今回は、比例・反比例・一次関数・二次関数の式の求め方をまとめて解説します。

関数の式｜求め方の流れ

どんな関数であっても、関数の式は次の手順で求められます。

1. 関数の式を一般形でおく
2. ①でおいた式に、与えられた\(x\)、\(y\)を代入する

関数によって違うのは、①の「一般形の置き方」だけです。
だから、ここがしっかり整理できれば、関数の式の求め方で迷うことはなくなると思います。

関数の式｜関数ごとの一般形

関数の式の一般形は、次の表の通りです。

この表は覚えなくても大丈夫です。
頭の中を整理して、問題を解いていけばできるようになってきます。

関数の式｜解き方の選択方法

求め方の流れと、関数ごとの一般形を踏まえると、関数の式の求め方は次の通りになります。

• 「比例する」「原点を通る直線」
  ⇒\(y=ax\)を立てて\(a\)を求める
• 「反比例する」
  ⇒\(\displaystyle y = \frac{a}{x}\)を立てて\(a\)を求める
• 「一次関数」「直線」
  • 通る2点がわかる場合
    ⇒\(y=ax+b\)を立てて2点を代入
  • 傾きと通る1点がわかる場合
    ⇒\(y=ax+b\)に傾きを代入して\(b\)を求める
  • 切片と通る1点がわかる場合
    ⇒\(y=ax+b\)に切片を代入して\(a\)を求める
• 「\(x\)の2乗に比例する」
  ⇒\(y=ax^2\)を立てて\(a\)を求める

関数の式｜求め方を例題で見てみよう

解説

\(y\)は\(x\)に比例するので、一般形は

\(y=ax\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=6\)を代入して

\(6=3a\)
\(a=2\)

よって、求める式は

\(y=2x\)

他には、「点(3,6)を通り、原点を通る直線の式を求めよ」のような問題や、グラフと通る点を図に描いてある問題もあります。

解説

2直線が平行
＝2直線の傾きが等しい

\(y=-2x+1\)に平行
⇒求める直線の傾きは－2
よって求める直線は

\(y=-2x+b\)

とおける。
これに\(x=-2\)、\(y=3\)を代入して

\(3=4+b\)
\(b=-1\)

よって求める関数の式は
\(y=-2x-1\)

他には「傾きが2のとき」「変化の割合が2のとき」のような条件のときもあります。

おわりに

今回の記事は、関数の式の決定についてでした。

関数の式の決定は

1. 関数の式を一般形でおく
2. ①でおいた式に、与えられた\(x\)、\(y\)を代入する

の手順で求められ、最初の一般形の置き方を整理しておくと、ほぼすべての問題が解けるようになります。

関数の式がスムーズに立てられるようになると、入試の大問でも一気に得点源になります。
「式を立てる→代入する」という流れを体にしみこませておきましょう！

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中2で習う一次関数のときは理解できていたのに、少し時間がたつと「どうやって計算するんだっけ」と迷いやすい単元です。

でも、変化の割合は一次関数に限った考え方ではなく、反比例や二次関数などにも使われる、とても大切な考え方です。

この記事では、そんな変化の割合を

• 意味
• 計算方法
• 応用へのつながり

の3ステップで、わかりやすく整理していきます。

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変化の割合とは

変化の割合の定義、公式、意味は次の通りです。

• 定義
  \(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合
• 公式
  \(\displaystyle　(変化の割合)= \frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)
  ※増加量は
  　(変化後の値)－(変化前の値)
• 意味
  2点間の変化の割合は、その2点を結ぶ直線の傾き

次に、これを踏まえて、実際にどんな計算をするのかを見ていきます。

一次関数のときに、「変化の割合=一次関数の傾き」みたいな覚え方をする人が多いですが、それだけだとなかなか応用が利きません。
変化の割合の意味と計算方法をしっかり押さえてください。

公式の意味まで戻って理解したい方は一次関数、変化の割合とは？を参考にしてください。

変化の割合｜表を使った計算方法

変化の割合の計算では、\(x\)の増加量、\(y\)の増加量を表にまとめると、考えを整理するのに大変役立ちます。

実際の問題で見てみましょう。

変化の割合に限らずですが、前後の変化を整理したいときに、表はとても役立ちます。

一次関数では、この変化の割合がどうなっていたのかを見ていきます。

変化の割合｜一次関数の場合

まず、一次関数の変化の割合を考えていきます。

この問題を解いてわかる通り、一次関数の場合は、変化の割合とグラフの傾きは一致します。

ここまでが、中2で変化の割合を学習したときに出てくる話です。
次は、この変化の割合を反比例や二次関数で使った問題を取り扱います。

変化の割合｜反比例、二次関数への応用

関数が一次関数でなくても、考え方に変わりはありません。
反比例の式で、変化の割合を考えてみます。

一次関数の変化の割合を計算したときと、手順は何も変わりません。
難しそうに見えても、実は基本と変わらないということはよくあります。

次は、二次関数の変化の割合を考えてみます。
今度は、文字が入ったときの処理の仕方も見ていきます。

一見難しそうに見えますが、今までとほとんど同じ解き方で解けます。

解説

文字が入っていても、これまでと同じように計算していきます。

\(x=-2\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (-2)^2 =4a\)

\(x=1\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (1)^2 =a\)

	変化前	変化後		増加量
\(x\)：	－2	1	→	3 (=1－(－2))
\(y\)：	\(4a\)	\(a\)	→	\(－3a\) (=\(a-4a\))

よって変化の割合は

\(\displaystyle \frac{-3a}{3}=-a\)

条件より変化の割合が3であるので

\(-a=3\)
\(a=-3\)

解説を読んでわかるけど、自分で手を動かそうとするとわからないというときは、逆算思考で考える変化の割合を読んでみてください。
考え方の順序を整理しています。

おわりに

この記事では、変化の割合の「意味」と「計算のしかた」、
そして反比例・二次関数へのつながりを確認しました。

変化の割合は、数字を計算するだけのものではなく、
「どのくらい変わったのか」を比べるものの見方そのものです。

一次関数の傾きとして覚えるだけでなく、
「変化を比べる考え方」としてとらえると、
この先の関数の学習でも迷わずに進めるようになります。

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