比例・反比例 | 関数の森～中学生・高校生のためのやさしい関数ナビ～ https://wadknoroom.com 中学生・高校生のためのやさしい関数ナビ Thu, 13 Nov 2025 03:49:55 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.9.4 https://wadknoroom.com/wp-content/uploads/2025/10/cropped-16c6a4a5467af040ef999e3ea95f6451-32x32.png 比例・反比例 | 関数の森～中学生・高校生のためのやさしい関数ナビ～ https://wadknoroom.com 32 32 関数の森：学年横断・関数の演習まとめ https://wadknoroom.com/matome-all/ https://wadknoroom.com/matome-all/#respond Thu, 23 Oct 2025 03:01:21 +0000 https://wadknoroom.com/?p=3496 中学では、1年生で「比例・反比例」、2年生で「一次関数」、3年生で「二次関数」を学習します。
それぞれ別の単元に見えますが、実はどれも共通する考え方や処理の上に成り立っています。

たとえば、

  • 関数の式の求め方
  • 変化の割合の求め方
  • 点の求め方
  • 変域の求め方

などがそうです。

このシリーズでは、こうしたテーマを学年をこえて整理し、理解のつながりを見える形にしています。
高校受験の対策はもちろん、「途中でつまずいた」「もう一度しっかり理解したい」という人にもおすすめです。

どの記事から読んでも大丈夫なので、気になるところから読んでみてください。

定期テスト向けの記事や、各単元個別の記事をお探しの方はこちらを参考にしてください。

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おわりに

このシリーズで扱う内容は、実は中学・高校を通して共通する「関数の基本操作」です。
つまり、高校以降の関数でも、同じ考え方や手順が求められます。

だからこそ、中学のうちにしっかりと流れを理解しておくことが大切です。
今は少しむずかしく感じるところも、意味をたどっていけば必ずつながっていきます。

受験を通じて、関数の基本操作に少しずつ慣れ、自信を持って使いこなせるようになっていきましょう。

]]> https://wadknoroom.com/matome-all/feed/ 0 【高校受験・数学】もう迷わない、変化の割合！基礎～応用まとめ https://wadknoroom.com/henkanowariai-all/ https://wadknoroom.com/henkanowariai-all/#respond Wed, 22 Oct 2025 12:37:30 +0000 https://wadknoroom.com/?p=3454 「変化の割合って、どんな意味だったっけ？」
そんなふうに感じたことはありませんか？

中2で習う一次関数のときは理解できていたのに、少し時間がたつと「どうやって計算するんだっけ」と迷いやすい単元です。

でも、変化の割合は一次関数に限った考え方ではなく、反比例や二次関数などにも使われる、とても大切な考え方です。

この記事では、そんな変化の割合を

  • 意味
  • 計算方法
  • 応用へのつながり

の3ステップで、わかりやすく整理していきます。

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変化の割合とは

変化の割合の定義、公式、意味は次の通りです。

  • 定義
    \(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合
  • 公式
    \(\displaystyle　(変化の割合)= \frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)
    ※増加量は
    　(変化後の値)－(変化前の値)
  • 意味
    2点間の変化の割合は、その2点を結ぶ直線の傾き

次に、これを踏まえて、実際にどんな計算をするのかを見ていきます。

一次関数のときに、「変化の割合=一次関数の傾き」みたいな覚え方をする人が多いですが、それだけだとなかなか応用が利きません。
変化の割合の意味と計算方法をしっかり押さえてください。

公式の意味まで戻って理解したい方は一次関数、変化の割合とは？を参考にしてください。

変化の割合｜表を使った計算方法

変化の割合の計算では、\(x\)の増加量、\(y\)の増加量を表にまとめると、考えを整理するのに大変役立ちます。

実際の問題で見てみましょう。

例題1（表を使った変化の割合の計算）

点(3,－1)から点(5, 3)に変化するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x\)、\(y\)の変化をまとめると次の表の通り。

変化前変化後増加量
\(x\)：35⇒2
(=5－3)
\(y\)：－13⇒4
(=3－(－1))

よって、公式より変化の割合は

\(\displaystyle \frac{4}{2}=2\)

変化の割合に限らずですが、前後の変化を整理したいときに、表はとても役立ちます。

一次関数では、この変化の割合がどうなっていたのかを見ていきます。

変化の割合｜一次関数の場合

まず、一次関数の変化の割合を考えていきます。

例題2（一次関数の変化の割合）

一次関数\(y=2x-3\)において、\(x\)が－1から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x=-1\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times (-1) -3 =-5\)

\(x=4\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times 4 -3 =-5\)

変化前変化後増加量
\(x\)：－14→5
\(y\)：－55→10

よって変化の割合は
\(\displaystyle \frac{10}{5}=2\)

この問題を解いてわかる通り、一次関数の場合は、変化の割合とグラフの傾きは一致します。

ここまでが、中2で変化の割合を学習したときに出てくる話です。
次は、この変化の割合を反比例や二次関数で使った問題を取り扱います。

変化の割合｜反比例、二次関数への応用

関数が一次関数でなくても、考え方に変わりはありません。
反比例の式で、変化の割合を考えてみます。

例題3（一次関数以外の変化の割合）

反比例の式\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)において、\(x\)が2から6まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x=2\)を\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)に代入して
\(\displaystyle y=\frac{12}{2}=6\)

\(x=6\)を\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)に代入して
\(\displaystyle y=\frac{12}{6}=2\)

変化前変化後増加量
\(x\)：26→4
(=6－2)
\(y\)：62→－4
(=2－6)

よって変化の割合は
\(\displaystyle \frac{-4}{4}=-1\)

一次関数の変化の割合を計算したときと、手順は何も変わりません。
難しそうに見えても、実は基本と変わらないということはよくあります。

次は、二次関数の変化の割合を考えてみます。
今度は、文字が入ったときの処理の仕方も見ていきます。

一見難しそうに見えますが、今までとほとんど同じ解き方で解けます。

例題4（一次関数以外の変化の割合、文字が入った場合）

2次関数\(y=ax^2\)において、\(x\)が－2から1に変化するときの変化の割合が3である。
\(a\)の値を求めなさい。

解説

文字が入っていても、これまでと同じように計算していきます。

\(x=-2\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (-2)^2 =4a\)

\(x=1\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (1)^2 =a\)

変化前変化後増加量
\(x\)：－21→3
(=1－(－2))
\(y\)：\(4a\)\(a\)→\(－3a\)
(=\(a-4a\))

よって変化の割合は

\(\displaystyle \frac{-3a}{3}=-a\)

条件より変化の割合が3であるので

\(-a=3\)
\(a=-3\)

解説を読んでわかるけど、自分で手を動かそうとするとわからないというときは、逆算思考で考える変化の割合を読んでみてください。
考え方の順序を整理しています。

おわりに

この記事では、変化の割合の「意味」と「計算のしかた」、
そして反比例・二次関数へのつながりを確認しました。

変化の割合は、数字を計算するだけのものではなく、
「どのくらい変わったのか」を比べるものの見方そのものです。

一次関数の傾きとして覚えるだけでなく、
「変化を比べる考え方」としてとらえると、
この先の関数の学習でも迷わずに進めるようになります。

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