中学生の数学でつまずきやすいこの分野は、これから学ぶ**「関数」や「図形」の問題を解くための非常に重要な土台となります。特に、このブログのテーマである関数**をマスターするには、連立方程式を解く力が不可欠です。

この記事では、連立方程式の基本的な考え方から、加減法と代入法の2つの解き方を、具体例を通して徹底解説します。さらに、計算ミスを防ぐための注意点や、代入法を苦手にしないための最大のコツまで伝授します。

「連立方程式は苦手だ…」と感じているあなたも大丈夫です。この記事を読んで、どんな問題にも自信を持って取り組めるスキルを一緒に身につけていきましょう！

連立方程式って何？

中学校では、「文字が2種類ある式が2本」の連立方程式の解き方について学びます。
ここからは、それに準じて説明していきます。

具体例でイメージをつかもう

次のような2式を考えてみます。

\(x+y=2\)…①
\(x-y=0\)…②

たとえば、①の式 \(x+y=2\)を満たす\(x,y\)の組は、
\((0,2),(1,1),(2,0),(3,-1)…\)のように無数に存在します。

同じように、②の式\(x-y=0\)を満たすす\(x,y\)の組も、
\((0,0),(1,1),(2,2),(3,3)…\) のように無数に存在します。

これらの無数にある解の中で、\((x,y)=(1,1)\)のように、両方の式に共通する解が存在します。

このような、複数の式に共通する解を求めたいときに、用いるのが連立方程式なのです。

なぜ解法が必要なの？

先ほどの例のように、書き出してすぐ見つかることはほとんどありません。

実際には、式が複雑だったり、解が分数や大きな数字になったりして、「適当に考えて」答えを見つけるのは非常に困難です。

そのため、どんな連立方程式でも、確実に、素早く解を導き出せるように、加減法と代入法という2つの解き方について学びます。

次の章では、これらの方法を説明していきます。
しっかりマスターし、どんな連立方程式も解けるスキルを身につけていきましょう！

加減法ってどういう解き方？

加減法では、次の手順で計算します。

連立方程式の加減法を具体例で確認

次のような連立方程式を例に考えてみましょう。

\(2a+3b=5\)…①
\(3a-2b=1\)…②

どちらかの文字の係数をそろえる

今回は、\(a\)の係数（2と3)を、最小公倍数の6にそろえることにします。

「両辺に同じ数をかけても等号は成立する」
という等式の性質を利用して、
式①の両辺に3、式②の両辺に2をかけると、
式は次のように変形できます。

\(6a+9b=15\)…①’
\(6a-4b=2\)…②’

これで、\(a\)の係数がそろいました。

ひっ算でそろえた文字を消す

\(a\)の係数がそろったら、①’から②’を引き算し、\(a\)を消去します。

\(a\)の項、\(b\)の項、定数項同士、それぞれで引き算しています。

【ポイント】
消したい文字が同符号のときは引き算（今回）、
異符号のときは足し算をします。

これを計算すると、

\(13b = 13\\ b = 1\)

と\(b\)を求めることができました。

求めた値を代入して、最初に消去した文字の値を求める

求めた\(b=1\)を、元の式①または②のシンプルな方に代入して、\(a\)の値を求めます。
（今回は①に代入します）

\(2a+3b=5 \\ 2a+3 \times(1)=5 \\ 2a+3=5 \\ 2a=2 \\ a=1\)

これで\(a=1,b=1\)と答えを求めることができました。

連立方程式の加減法で気を付けるべきミス

ぼくの経験上ですが、ミスのほとんどはこの2つです。

文章題などを解いていて、分数になるはずのないところで分数が答えになったときは、
真っ先にこの2つを確認するとよいです。

特に符号ミスは、係数がマイナスの項（例\(-4b\)）を引き算するときに起こしやすいので、
注意して計算してください。

代入法ってどういう解き方？

代入法では、次の手順で計算します。

連立方程式の代入法を具体例で確認

次のような連立方程式を例に考えてみましょう。

\(2x-2y=1\)…①
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+y=2\)…②

どちらかの式を「(文字)=○」の形に変形する

式②の\(y\)の係数が1であるため、②を「\(y=◯\)」に変形します。

\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+y=2\)
\(\displaystyle y =\frac{1}{2}x+2\)…②’

変形した式を、もう一方の式に代入して計算する

変形した式をもう一方の式に代入します。
（今回は②’を①に代入）
①式の\(y\)の部分を、②式の右辺と入れ替えたと考えるとわかりやすいと思います。

\(\displaystyle 2x-2(\frac{1}{2}x+2)=1 \\ 2x-x-4 = 1 \\ x = 5\)

求めた値を代入して、もう一方の文字の値を求める

求めた値を方程式に代入して、もう一方の文字の値を求めます。
代入法の場合は、変形した式に代入すると、移項などの手間がなく計算することができます。

②’の式に、求めた\(x\)の値を代入すると

\(\displaystyle y =\frac{1}{2}x+2 \\ \displaystyle y = \frac{1}{2} \times(5) +2 \\ \displaystyle y = \frac{5}{2} +2 \\ \displaystyle y = \frac{9}{2} \)

連立方程式の代入法で気を付けるべきミス

加減法ほどではないですが、代入法でもミスしやすい部分はあります。

これらは、「数と式」や「一次方程式」の単元でも間違えやすい計算です。
しっかり計算できるようになっておくと、他の単元でのミスも減るので、気をつけて計算してください。

代入法をマスターする最大のコツ：式を「ひとかたまり」で見る

代入法を考えるコツは、「(文字)=○」の式の右辺をひとかたまりと見ることです。

たとえば、\(y=2x-1\)という式があるとき、\(y\)と\(2x-1\)を完全に等しい「ブロック」だと見なす意識が大切です。

代入法は、このブロックを組み替えていると思ってください。

加減法と代入法、加減法に頼りすぎることの危険性について

中学生の連立方程式では、加減法だけでなく代入法もしっかり身につけておくべきです。

ただ、代入法を苦手に感じる生徒はとても多いです。
だいたいが、次のような理由があります。

• 授業では加減法を先に習う
  ⇒「連立方程式＝加減法で解くもの」という意識が強くなりがち
• 加減法だけでもすべての連立方程式は解ける
  ⇒「代入法は別に使えなくてもいいのでは？」と思ってしまいがち
• 代入法は「式をひとかたまりとして扱う」感覚が必要
  ⇒の感覚がないと、どうしても理解しづらくなる

とはいえ、代入法は学習しておいた方が確実にメリットがあります。

• 問題によっては代入法の方が圧倒的に簡単に解ける
  ⇒特にどちらかの式が「\(x=〜\)」や「\(y=～\)」の形に近い場合など
• 数学の学習が進むにつれて、式をひとかたまりとして見る場面はどんどん増える
  ⇒代入法はそのための大事なトレーニング

単に「2つの解き方を覚える」というだけでなく、今後の数学の土台をつくるつもりで、代入法にもぜひ取り組んでみてください。

おわりに

お疲れ様でした！連立方程式の加減法と代入法について、マスターするための手順とコツを学ぶことができました。

連立方程式の解法とは、複雑な「文字が2つある式」を「文字が1つだけの式」に変形する、
「問題をシンプルにするツール」です。

• 加減法：係数を揃えて、文字を消去する。
• 代入法：「ひとかたまり」で見て、文字を置き換えて消去する。

特に、代入法で身につけた「式をひとかたまりで見る」感覚は、今後の関数（グラフの交点など）を解く上で非常に重要です。

加減法だけでなく代入法にも積極的に取り組み、あなたの数学の土台を強固なものにしていきましょう！

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  連立方程式の加減法の演習記事です。
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一次関数は、連立方程式よりも後の学習範囲です。
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この記事では、連立方程式の加減法を「手順」「注意点」「工夫」の3つの視点から徹底解説します。
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単に解き方を覚えるだけでなく、「どうすればミスなく、素早く解けるか」を自分で試行錯誤するヒントも紹介します。

この記事を最後まで読み終えるころには、連立方程式の加減法を自在に使いこなし、自信を持ってテストに臨めるようになっているはずです。

連立方程式の加減法の手順と注意点（前提知識）

連立方程式の加減法は、次の順で考えます。

最初に係数をそろえるとき、どちらの文字をそろえてもいいです。

ただ、計算を工夫する余地はたくさんあります。
たとえば、次のような工夫が考えられます。

• できるだけ数字が大きくならないようにすると、スムーズに計算しやすいです。
• 足し算が計算しやすい
  ⇒異符号の文字を消去する
  引き算が計算しやすい
  ⇒同符号の文字を消去する
• 先頭の項の消去があまり好きではない
  ⇒2番目の項から消去する

どれも厳密なルールではないので、
自分なりに計算しやすい方法を見つけてください。

あえて、「これがおすすめ」みたいなことは言いません。
こういうところで、ちゃんと試行錯誤をすることが、勉強を意義のあるものにしてくれますよ。

加減法で起こしやすいミス

加減法のミスのほとんどは、この2つのどちらかです。
計算するときは、必ず注意して計算するようにしましょう。

連立方程式の加減法を例題で理解

【解説】

• \(b\)から消去する
  ⇒\(b\)の係数をそろえる
  ⇒式①の両辺に2、式②の両辺に3をかける
• 係数が異符号
  ⇒2式を足し算する

\(4a+6b=-2\)…①’（①×2）
\(9a-6b=15\)…②’（②×3)

①’＋②’のひっ算をすると

\(13a=13 \\ a = 1\)

①に\(a\)の値を代入して
\(2+3b=-1 \\ 3b=-3 \\ b = -1\)

ぼく個人で言えば、後ろを消去する方が慣れているので、
特に大きな違いがなければ、第2項から消去しています。

連立方程式の検算（代入法の演習記事でも同じことを書いています）

連立方程式では、最後に代入した式と違う方の式に（例題では式②）に代入すると、答えが正しいかどうかを確認できます。
代入しても等式が成立すれば、それが正しい答えであるとわかります。

実際に、例題で\(a=1,b=-1\)を式②に代入すると
\(2 \times 1 -3 \times(-1) =5\)

となり式②が成り立つので、
\(a=1,b=-1\)が正しい答えであると確認できます。

レベル別の演習問題で加減法をマスター！

足し算、引き算のひっ算に慣れよう

解説

• \(x\)の係数の数字がそろっている
  ⇒\(x\)から消去する
• 係数が異符号
  ⇒2式を足し算する

①＋②のひっ算をすると

\(4y=8 \\ y=2\)

①に\(y\)の値を代入して
\(-2x+2=6 \\ -2x=4 \\ x=-2\)

よって\(x=-2,y=2\)

解説

• \(b\)の係数の数字がそろっている
  ⇒\(b\)から消去する
• 係数が同符号
  ⇒2式を引き算する

①－②のひっ算をすると

\(-2a=-6 \\ a=3\)

①に\(a\)の値を代入して
\(3+b=5 \\ b=2\)

よって\(a=3,b=2\)

一次関数の式を求めるときは、こういう\(b\)がそろった連立方程式を解いて求めます。

係数をそろえる操作に慣れよう

解説

②式の\(y\)の係数が1
⇒\(y\)の係数をそろえる
⇒②の両辺に2をかける

\(5x+2y=3\)…①
\(6x-2y=8\)…②’（②×2）

①＋②’のひっ算をすると

\(11x=11 \\ x=1\)

①に\(x\)の値を代入して
\(5+2y=3 \\ 2y=-2 \\ y=-1\)

よって\(x=1,y=-1\)

係数が1の文字があるときは、そちらから消去するとはやいです。

解説

• ②式の\(b\)の係数が1
  ⇒\(b\)の係数をそろえる
  ⇒②式の両辺に3をかける

\(5a+3b=-4\)…①
\(-6a+3b=-15\)…②’（②×3）

①－②’のひっ算をすると

\(11a=11 \\ a=1\)

①に\(a\)の値を代入して
\(5+3b=-4 \\ 3b=-9 \\ b=-3\)

よって\(a=1,b=-3\)

この計算の、\(a\)の項や、定数項のように、負の数をひき算をするときに計算ミスが起こりやすいです。

係数をそろえる操作をマスターしよう

解説

• \(x,y\)のどちらでそろえてもよいが、係数が小さいものでそろえる方が計算しやすいことが多い
  ⇒(x\)の係数をそろえる
  ⇒①の両辺に3、②の両辺に2をかける

\(6x+15y=-24\)…①’（①×3）
\(6x+4y=-2\)…②’（②×2)

①－②’のひっ算をすると

\(11y=-22 \\ y=-2\)

①に\(x\)の値を代入して
\(2x-10=-8 \\ 2x=2 \\ x=1\)

よって\(x=1,y=-2\)

一方の文字を求めた後、もうひとつの文字を求めるために代入するときは、変形前の①か②に代入した方がよいです。
①’、②’に変形するときの計算で間違っている可能性もあるからです。
答えを最後まで求めたあとに、元の式の①か②で検算すれば、変形中のミスも見つけることができます。

解説

• \(b\)をそろえる
  ⇒式①の両辺に2、式②の両辺に5をかける

\(12a+10b=-14\)…①'(①×2)
\(25a－10b=-60\)…②’（②×5）

①’＋②’のひっ算をすると

\(37a=-74 \\ a=-2\)

①に\(a\)の値を代入して
\(-12+5b=-7 \\ 5b=5 \\ b=1\)

よって\(a=-2,b=1\)

この計算の、\(a\)の項や、定数項のように、負の数をひき算をするときに計算ミスが起こりやすいです。

分数係数の問題で、加減法を自由自在に！

解説

分数は考えにくいので、両辺に同じ数をかけて分母をはらう
⇒式①の両辺に2をかける

\(x+2y=4\)…①’（①×2）
\(2x+3y=7\)…②

①’の式の\(x\)の係数が1
⇒\(x\)をそろえる
⇒式①の両辺に2をかける

\(2x+4y=8\)…①”（①’×2）
\(2x+3y=7\)…②

①”－②のひっ算をすると

\(y=1\)

②に\(y\)の値を代入して
\(2x+3=7 \\ 2x=4 \\ x=2\)

よって\(x=2,y=1\)

解説

②式の分数をはらう
⇒②式の両辺に6をかける

\(2a+3b=13\)…①
\(3a+2b=12\)…②’（②×6）

\(b\)の係数をそろえる
⇒①の両辺に2、②’の両辺に3をかける

4a+6b=26…①’（①×2）
9a+6b=36…②”（②’×3）

①’－②”のひっ算をすると

\(-5a=-10 \\ a=2\)

①に\(a\)の値を代入して
\(4+3b=13 \\ 3b=9 \\ b=3\)

よって\(a=2,b=3\)

両辺へのかけ算をするタイミングが3回もあります。
それだけかけ忘れやすくなるので、注意してください。

おわりに

この記事では、連立方程式の加減法について、基本手順から、ミスしやすいポイント、そして分数係数を含む応用問題まで、幅広く解説しました。

重要なのは、「これが正解」と決められた解き方に固執せず、自分にとって最も計算しやすい方法を見つけることです。
特に、係数を揃える操作や、足し算・引き算の符号の扱いは、慣れが求められます。

レベル別演習でたくさん手を動かし、ご紹介した工夫や検算方法を試しながら、加減法をあなたの強力な武器にしてください。

連立方程式には、今回扱った「加減法」の他に「代入法」という解き方もあります。
それぞれの特徴を理解し、問題に合わせて使い分けられるようになると、連立方程式のマスターは完了です。

次のステップとして、代入法についても演習してみましょう。

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実は、「式を整理する手間を省ける」「\(x=◯\)の形なら一瞬で終わる」など、代入法には加減法より圧倒的に速く解けるパターンがたくさんあります。

この記事では、代入法の基本からミスを防ぐ「カッコの使い方」、さらに式変形が必要な応用までレベル別に解説します。
2つの解法を使い分けられるようになれば、連立方程式のスピードと正確さは一気に上がりますよ！

連立方程式の代入法の手順と注意点（前提知識）

代入法では、次の手順で計算します。

代入法は、

• 式の形が「\(x=○\)」や「\(y=○\)」
• 式中の\(x\)または\(y\)の係数が1のとき

のどちらかのときに使いやすいです。
加減法、代入法のどちらも、解のある全ての連立方程式を解くことができます。
だから、どちらを使うべきか、絶対のルールはありませんので、
練習を重ねて、自分が計算しやすいルールを作っていってください。

連立方程式の代入法を例題で理解

【解説】

式①が「\(y=◯\)」の形
⇒式②の\(y\)に式①を代入する

\(x+3(x+5)=3\ \\ x+3x+15=3 \\ 4x = -12 \\x = -3\)

式①に\(x\)の値を代入して
\(y=-3+5 \\ y=2\)

よって\(x=-3,y=2\)

代入法で2つ目の文字の値を求めるときは、
「\(x=◯\)」、「\(y=◯\)」の式に代入すると、計算がはやくて楽ですよ。

代入法のコツと慣れる方法

代入法を自由に使えるようになるためには、「\(x=○\)」または「\(y=○\)」の「○」の部分の式をひとかたまりとして見れることが重要です。

そのためには、代入するときは、必ずカッコをつけて代入するようにしましょう。

連立方程式の検算（加減法の演習記事でも同じことを書いています）

連立方程式では、最後に代入した式と違う方の式に（例題では式②）に代入すると、答えが正しいかどうかを確認できます。
代入しても等式が成立すれば、それが正しい答えであるとわかります。

実際に、例題で\(x=-3,y=2\)を式②に代入すると
\(-3+3 \times 2 =3\)

となり式②が成り立つので、
\(x=-3,y=2\)が正しい答えであると確認できます。

レベル別の演習問題で加減法をマスター！

代入の操作に慣れよう

解説

式①を式②に代入すると

\(3x-2(2x-7)=8 \\ 3x-4x+14=8 \\-x = -6 \\ x = 6\)

式①に\(x\)の値を代入して
\(y=2 \times 6-7 \\ y=5\)

よって\(x=6,y=5\)

この問題のように、係数がマイナスのカッコを外すときは、計算ミスが起こりやすいです。
必ず検算して、答えが正しいか確かめましょう。

代入法の式変形に慣れよう

解説

式①の\(x\)の係数が1
⇒「\(x=◯\)」の形に変形

\(x-4y=1\)…①
\(x=4y+1\)…①’

式①’を式②に代入すると

\(2(4y+1)-3y=7 \\ 8y+2-3y=7 \\ 5y=5 \\ y=1\)

式①’に\(y\)の値を代入して
\(x=4 \times 1+1 \\ x=5\)

よって\(x=5,y=1\)

係数が1のときは、加減法でも解きやすいので、どちらでも好きな方で解いて大丈夫です。

解説

式①の\(y\)の係数が－1
⇒\(y=◯\)の形に変形

\(3x-y=6 \)…①
\(-y=-3x+6\)
\(y=3x-6\)…①’

式①’を式②に代入すると

\(5x-2(3x-6)=4 \\ 5x-6x+12=4 \\ -x=-8 \\ x=8\)

式①’に\(x\)の値を代入して
\(y=3 \times 8-6 \\ y=18\)

よって\(x=8,y=18\)

係数が－1のときは、変形するときに符号を間違えやすくなるので注意してください。

一次関数のグラフの交点の求めるときの連立方程式

一次関数は、連立方程式の後の学習範囲なので、未習の方は飛ばして先に進んでいただいても大丈夫です。
問題は、連立方程式の知識だけで解くことができます。

2つのグラフの交点を求めたいときは、そのグラフの式を連立させて解くと、その交点の座標がわかります。

また、関数の式は「\(y=◯\)」の形で表されます。
そのため、交点を求めるときは、代入法で解くのが最も効率的です。

どちらの式も「\(y=◯\)」の形で表されているので、
代入法を使うと、式の右辺同士を等号（＝）でつないだ方程式が得られます。

交点を求める計算だけを繰り返していると、何を意味しているのかが分かりにくくなるかもしれません。
しかし、「交点では、両方の式の\(y\)座標が等しいから、一方の式をもう一方の式に代入している」という本質的な感覚を持てるようにしておくと、より深く関数を理解することができると思います。

解説

式①を式②に代入して

\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+3=x-3 \)

両辺に2をかけて

\(-x+6=2x-6 \\ -x-2x =-6-6 \\ -3x=-12 \\ x=4\)

式②に\(x\)の値を代入して
\(y=4-3 \\ y=1 \)

よって\(x=4,y=1\)

分数をはらうタイミングですが、先に分数をはらっても、代入後に分数をはらっても計算の工程としてはそれほど変わらないので、好みで大丈夫です。
ぼくは、「交点⇒連立⇒代入法」と1セットで考えるクセがあるので、交点を求めるときは、\(x\)の方程式ができてから分数をはらっています。

応用問題を解いて、代入法を自由自在に！

解説

式①が「\(y=◯\)」の形なので、代入法でよいです。
このような式の場合は、右辺の\(4(x-1)\)をひとかたまりで見てください。

式①を式②に代入すると

\(5x-3 \times 4(x-1) = -2 \\ 5x -12(x-1)=-2 \\ 5x-12x+12 =-2 \\ -7x=-14 \\ x=2 \)

式①に\(x\)の値を代入して
\(y=4(2-1) \\ y=4 \times 1 \\ y =4 \)

よって\(x=2,y=4\)

先に式①を展開してもいいのですが、計算工程が増えてしまいます。
カッコでくくられた式をひとかたまりで見れるよう練習しましょう。

おわりに

お疲れ様でした！
代入法を使いこなせれば、わざわざ式を並べ替えたり、係数をそろえたりする手間がなくなります。

大切なのは「カッコをつけて、ひとかたまりで代入する」こと。
このコツさえ掴めば、複雑な問題でもミスは激減します。

また、代入法に慣れておくと、今後学習する「一次関数のグラフの交点」もスムーズに解けるようになりますよ。

問題に合わせて「加減法」と「代入法」を適切に選べるようになれば、連立方程式はもう完璧です。
自信を持って次のステップへ進みましょう！

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