二次関数とは？一次関数との「a」の違いを徹底解説【中3数学】

「一次関数はわかったけど、二次関数になって急に式がややこしくなった…」
「\(y=ax^2\)の\(a\)って、前の\(a\)と同じなの？」

中学校の数学で大きな山場となる「二次関数」。
実は、一次関数との違いを正しく理解するだけで、この先の学習がぐっと楽になります。

この記事では、二次関数の正体から、みんながひっかかりやすい「文字\(a\)の意味の違い」まで、中学生が間違えやすいポイントを絞って解説します。
この記事を読み終える頃には、二次関数の式の形がしっくりきているはずですよ！

二次関数って何？

中学校では、二次関数のうち\(x=0,y=0\)を満たす、「\(x\)の2乗に比例する関数」のみを学習します。

二次関数を具体例で見てみよう

1辺が\(x\)㎝の正方形の面積を\(y\)㎠とします。

今、\(x\)と\(y\)の関係を表で表すと次のようになります。

この表では、\(x\)の値が\(2\)倍、\(3\)倍、…と増えていくと、
\(y\)の値が\(2^2\)倍、\(3^2\)倍と増えていっていることがわかります。

このような関数を、「\(y\)が\(x\)の2乗に比例する」と呼びます。

正方形の1辺の長さと面積の関係を式で表してみよう

正方形の面積は、

\(\text{(正方形の面積)}= \text{(1辺の長さ)} \times \text{(1辺の長さ)}\)

と計算できるので、\(y\)は\(x\)をつかって次のように表すことができます。

\(y=x \times x\)
\(y=x^2\)…①

このとき、式①で\(y\)は\(x\)の2次式で表されています。
このような関数を二次関数と呼びます。

また、二次関数のうち\(y=ax^2\)のかたちで表される関数を、
「\(y\)が\(x\)の2乗に比例する」と呼んでいるのです。

一次関数の\(a\)と、二次関数の\(a\)は関係あるの？

一次関数の\(a\)の意味

たとえば、\(y=2x+1\)という一次関数を考えます。
この式では、\(x\)の係数の2が\(a\)に該当します。

この式に、\(x=-2,-1,0,1,2\)と代入した表を作ります。

表を見るとわかりますが、\(x\)が1増加するごとに\(y\)が2ずつ増加しています。

\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合、
つまり\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量のことを変化の割合と呼んでいたので、
このときの2は変化の割合であるということがわかります。

つまり、\(y=ax+b\)の\(a\)は、変化の割合を表しているのです。

また、これをグラフに書くと、「\(x\)が1増加するごとに\(y\)が2増加」という一定の割合で\(y\)の値が変化していくため、グラフは直線になりました。

このときの2のことをグラフの傾きとも呼びます。

二次関数の\(a\)は一次関数の\(a\)とはどう違うの？

次は、\(y=2x^2\)という二次関数を考えます。
先ほどと同様に、\(x=-2,-1,0,1,2\)と代入した表を作ります。

先ほどとは違い、
\(x<0\)の範囲では、\(x\)が増加するにつれて\(y\)は減少、
\(x>0\)の範囲では、\(x\)が増加するにつれて\(y\)は増加しており、
変化の幅も一定ではありません。

つまり、二次関数の場合\(a\)は変化の割合ではないのです。

また、\(x\)の増加に対して\(y\)の増加が一定ではないため、
グラフは直線にはなりません。
そのため、二次関数のグラフに傾きなんて存在せず、
当然、\(a\)はグラフの傾きを表しているわけではないのです。

グラフの話はまた別記事でまとめますが、
二次関数の場合、\(a\)はグラフの開き具合として現れます。

ちょっと先の話になりますが、高校の数学で

二次関数を式で表すとき
⇒\(y=ax^2+bx+c\)

三次関数を式で表すとき
⇒\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)

とおくことがあります。
見てもらえばわかる通り、次数の高い方から\(a,b,c,…\)と文字を割り当てているだけです。

文字の種類にはその程度の意味しかありません。

おわりに

二次関数の式\(y=ax^2\)に出てくる\(a\)は、一次関数のときのように「傾き」や「変化の割合」とは呼びません。

• 一次関数の\(a\)
  グラフの傾き、変化の割合（いつも一定）
• 二次関数の\(a\)
  グラフの開き具合（変化の割合はバラバラ！）

この違いを理解しておくだけで、これから習う「グラフ」や「変化の割合」の計算で迷子になる確率がグンと下がります。

がんばってください。

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