共通因数でくくる因数分解のコツ！元塾講師が教える「ミスゼロ」の3ステップ【中3数学】

数学の教科書を開くと最初に出てくる因数分解の公式、それが「共通因数でくくる」です。

「なんだか簡単そう」と思うかもしれませんが、実はここが一番の落とし穴。
ここでミスをしたり、やり残しがあったりすると、この後に続く難しい公式もすべて台無しになってしまいます。

この記事では、因数分解の「ミスをゼロにする3つの手順」と、初心者がハマりやすい「3つの落とし穴」を具体例とともに紹介します。

公式\(ma+mb=m(a+b)\)はどうやって考えたらいい？

「共通因数でくくる」と言われるタイプの因数分解の公式です。
これは、実は中1で習った「分配法則」の逆になっています。

• 分配法則（中1）：
  \(m(a+b)=ma+mb\)
  （カッコを外してバラバラにする操作）
• 共通因数（中3）：
  \(ma+mb=m(a+b)\)
  （バラバラのものをカッコにまとめる）

具体的には、次の手順で共通因数でくくることができます。

共通因数のくくり方を具体例で見てみよう

共通因数とは？

共通因数とは、字の通り、全ての項に共通する因数のことです。

因数とは、数字をかけ算の形に直したときの、要素のことでした。
たとえば、次のようなものが因数です。

\(6=2 \times 3\)
⇒\(2\)と\(3\)は\(6\)の因数

だから、「ある数の因数」は、「その数を割り切れる数」とも考えられます。

また、数字だけでなく、文字も同じように割り切れます。
たとえば\(x^2\)と\(x\)なら、両方を\(x\)で割ることができるので、\(x\)が共通因数になります。

つまり、共通因数とは「すべての項を割り切れる数、文字」のことなのです。

公式\(ma+mb=m(a+b)\)では、\(m\)が共通因数です。

どうやったら共通因数でくくれる？

もう一度公式を見てみます。

\(ma+mb=\color{red}{m}\color{blue}{(a+b)}\)

公式では、因数分解後の式は、

• カッコの外
  共通因数(\(\color{red}{m}\))
• カッコの中
  元の式÷共通因数(\(\color{blue}{(a+b)}\))

となっていることがわかります。

そのため、

1. 共通因数を見つける
2. カッコの外に共通因数を出す
3. カッコの中を(共通因数÷元の式)にする

という手順で因数分解することができます。

具体例で見ていきましょう。

例1（項が2つ、共通因数が数字）

\(3x-12\)

1. \(3x,-12\)の共通因数は\(3\)
   ⇒カッコの外に\(3\)を出す
2. \(3x \div 3 = x\)
   \(-12 \div 3= -4\)
   ⇒カッコの中は\((x-4)\)

よって

\(3x-12=3(x-4)\)

例2（項が2つ、共通因数が負の数）

\(-4x-8\)

1. \(-4x,-8\)の共通因数は\(-4\)
   ⇒カッコの外に\(-4\)を出す
2. \(-4x \div (-4) = x\)
   \(-8 \div (-4)= 2\)
   ⇒カッコの中は\((x+2)\)

よって

\(-4x-8=-4(x+2)\)

「共通因数が\(4\)でもいいじゃないか」と思われるかもしれません。
ただ、カッコの中身は「文字が先頭、文字の係数は正」がルールなので（そうしないと見づらい）、負の数でくくってやってください。

例3（項が3つ、共通因数が数字）

\(4x-6y+10\)

1. \(4x,-6y,10\)の共通因数は\(2\)
   ⇒カッコの外に\(2\)を出す
2. \(4x \div 2 = 2x\)
   \(-6y \div 2= -3y\)
   \(10 \div 2 = 5\)
   ⇒カッコの中は\((2x-3y+5)\)

よって

\(4x-6y+10=2(2x-3y+5)\)

例4（共通因数が文字）

\(x^2-4x\)

1. \(x^2,-4x\)の共通因数は\(x\)
   ⇒カッコの外に\(x\)を出す
2. \(x^2\div x = x\)
   \(-4x \div x= -4\)
   ⇒カッコの中は\((x-4)\)

よって

\(x^2-4x=x(x-4)\)

例5（共通因数が数字と文字）

\(2xy+6y\)

1. \(2xy,6y\)の共通因数は\(2y\)
   ⇒カッコの外に\(2y\)を出す
2. \(2xy \div 2y = x\)
   \(6y \div 2y= 3\)
   ⇒カッコの中は\((x+3)\)

よって

\(2xy+6y=2(x+3y)\)

共通因数でくくるときの計算の工夫

例5のように、数字と文字が混ざった共通因数で間違えやすい人は、共通因数を探す手順を、次のように分解するとよいです。

1. 探す：
   • すべての項を割り切れる数字がないか考える
   • すべての項に共通する文字がないか考える
     （ない場合は1と考える）
   • 考えた数字、文字をかけて共通因数を見つける
2. 出す：
   その共通因数をカッコの外に書く。
3. 割る：
   残ったものをカッコの中に書き込む。
   （元の式÷共通因数）

先ほどの例を用いて、共通因数の探し方を具体的に見ていきます。

例1

\(3x-12\)

1. 共通因数を探す
   • \(3x,-12\)を割り切れる数は\(3\)
   • \(3x,-12\)に共通する文字はない
   • 共通因数は\(3\)

例5

\(2xy+6y\)

1. 共通因数を探す
   • \(2xy,6y\)を割り切れる数は\(2\)
   • \(2xy,6y\)に共通する文字は\(y\)
   • 共通因数は\(2 \times y = 2y\)

練習するうちに、分けなくてもできるようになってきます。
慣れるまでは、共通因数でくくれそうなときは、このように手順を分けてやってください。

共通因数でくくるときによくあるミス3選

途中で因数分解をやめてしまう

答えに「まだ因数分解できるかたち」が残っている場合、それは因数分解が不完全とみなされます。

たとえば、\(4x+16\)を

\(4x+16=2(2x+8)\)

のように因数分解すると、カッコの中の\((2x+8)\)がまだ\(2\)でくくれる形になっているため、不正解となってしまいます。
正しくは、次のようになります。

\(4x+16=4(x+4)\)

因数分解をしたときは、必ずカッコ内を確認して、因数分解できるかたちではないか確認するようにしましょう。

負の数で括るときの符号間違い

展開のときと同じで、負の数でくくったときの符号変化は間違えやすいです。

たとえば、\(-2x-8\)を因数分解すると

\(-2x-8=-2(x \color{red}{+4})\)

と因数分解できます。
赤字部分の符号を特に間違えやすいので、必ず注意して計算して、符号ミスをしていないか見直しもするようにしてください。

カッコの中身の\(1\)を\(0\)としてしまう

たとえば、\(x^2+x\)の因数分解で、
正しくは、

\(xy+y=y(x+1)\)

とすべきところを

\(xy+y=y(x)\)

のように、\(y \times y\)の計算を\(0\)としてしまう答案をときどき見かけます。
\(y \times y = 1\)ですので、間違えたことがある方は、必ず気をつけて計算してください。

割られる数が\(0\)でなければ、割り算で\(0\)になることはありえません。

おわりに

お疲れ様でした！共通因数でくくるコツは掴めたでしょうか？

1. 共通因数を探す
2. 共通因数をカッコの外に出す
3. カッコの中を（元の式÷共通因数）にする

の手順を踏めば、共通因数でくくることができます。
また、文字と数字がまざった共通因数で戸惑うようであれば、数字と文字を別々に探すようにしてみてください。

すべての因数分解は、この「共通因数」がないか考えるところから始まります。
地味に見える作業ですが、どんな複雑な問題でも、まずは「共通なものはないか？」と考えるクセをつけてください。

次回は、いよいよ因数分解の本丸「和と積の公式」に挑戦しましょう。組み合わせを爆速で見つけるフィルター術を伝授します！

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