「かけて〇、足して△になる数字を探す。」
因数分解で一番お世話になる公式ですが、意外と苦戦している人も多いのではないでしょうか？
特に数字が大きくなってくると、『ペアが全然見つからない！』と迷子になってしまいがちです。
でも、基本の求め方から少し発展させると、ペアをぐんと見つけやすくすることができます。
この記事では、和と積の公式の『基本の使い方』とぼくが塾講師時代に教えていた『効率よく因数分解するコツ』までをセットで解説します。
基礎からしっかり固めたい人も、計算スピードを上げたい人も、ぜひ参考にしてください。
和と積の公式ってどうやって使えばいい？
「因数分解といえばこれ」みたいな公式です。
この公式は、
\(x^2+○x+△\)
のような形の式のときに使える可能性があります。
具体的には、次の手順で使えるかどうか確認できます。
（式中の赤字部分に注目してください）
ちょっと先の話ですが、他の公式でも、まず見るべきは定数項です。
だから、因数分解をするときは、次の順で考える習慣をつけてください。
- 共通因数がないか確認
- 定数項の確認
具体例で和と積の公式を確認してみよう
例1
\(x^2+4x+3\)
- 定数項\(3\)
かけて\(3\)になる数字の組み合わせは、
\((1,3),(-1,-3)\) - \(x\)の係数\(4\)
1.のうち足して\(4\)になる組み合わせは、
\((1,3)\) - 公式\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)において
\(a=1,b=3\)とわかるので
（\(a\)と\(b\)が逆でもいいです）
\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)
例2
\(x^2-6x+8\)
- 定数項\(8\)
かけて\(8\)になる数字の組み合わせは、
\((1,8),(2,4),(-1,-8),(-2,-4)\) - \(x\)の係数\(-6\)
1.のうち足して\(-6\)になる組み合わせは、
\((-2,-4)\) - \(a=-2,b=-4\)を公式に当てはめると
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\)
例3
\(x^2-2x-24\)
- 定数項\(-24\)
かけて\(-24\)になる数字の組み合わせは、
\((1,-24),(2,-12),(3,-8),(4,-6),(6,-4),(8,-3),(12,-2),(24,-1)\) - \(x\)の係数\(-2\)
1.のうち足して\(-2\)になる組み合わせは、
\((4,-6)\) - \(a=4,b=-6\)を公式に当てはめると
\(x^2-2x-24=(x+4)(x-6)\)
定数項が大きくなってくると、その分書き出す候補も増えていきます。
次で説明する方法を使えば、候補を少なくできるので、定数項が大きくなってきても考える量が少なくて済みます。
因数分解の和と積の公式で効率よく2数を探すコツ
この順で考えると、最初に符号を無視して数字だけを考えるので、考える候補の数が半分で済みます。
また、やってみるとわかるのですが、2数の候補を検討するときに、どちらに符号をつけるか考えるのも意外と負担になっています。
そのため、符号の検討を後回しにするだけで、2数の候補の検討がかなり楽になります。
もう少し具体的に、例で確認していきましょう。
具体例で和と積の公式のコツを確認してみよう
例4
\(x^2-x-72\)の因数分解
【絶対値の組み合わせを探す】
定数項：\(-72\)
\(x\)の係数：\(-1\)
⇒定数項が負なので、2つの数を引いて\(x\)の係数の絶対値（=1）になる2つの自然数を探す
かけて72になる自然数の組み合わせは
\((1,72),(2,36),(3,24),(4,8),(6,12),(8,9)\)
引いて\(1\)になる組み合わせは\((8,9)\)
【符号を決める】
定数項が負なので符号は別々
差が\(-1\)（負）だから大きい方の9が負
よって、因数分解できる2数は\(-9\)と\(8\)とわかる
\(x^2-x-72=(x+8)(x-9)\)
例5
\(x^2-17x+72\)
【絶対値の組み合わせを探す】
定数項：\(+72\)
\(x\)の係数：\(-17\)
定数項が正なので、2つの数を足して\(x\)の係数の絶対値（=17）になる組み合わせを探す
かけて72になる自然数の組み合わせは
\((1,72),(2,36),(3,24),(4,8),(6,12),(8,9)\)
足して\(17\)になる組み合わせは\((8,9)\)
【符号を決める】
定数項が正なので符号は同じ
\(x\)の係数（\(-17\)）が負だから、両方負
よって、因数分解できる2数は\(-8\)と\(-9\)とわかる
\(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\)
因数分解の和と積の公式まとめ
因数分解の和と積の公式のまとめは次の通りです。
今回の記事はここまでです。
和と積の公式は因数分解では一番お世話になる公式だと思います。
ぼくなりのコツもお伝えしましたが（本当はもうちょっと細かいんですが、記事だと伝わりにくいので、省きました）、特にどの方法が正しいというものでもないです。
だから、身もふたもないこと言っちゃいますが、「自分が使いやすい方法」を見つけることが一番大事です。
色んな人のやり方を参考にしながら、じぶんなりの方法を見つけてください。
次の記事では、使える式は限られるけど、気づくとすぐに因数分解できる「2乗の公式」について解説します。
👉因数分解「2乗の公式」の見抜き方！ミスを防ぐ確認手順
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解説を読んで「なるほど！」と思ったら、次は実際に手を動かして、その感覚を脳に刻み込む番です。
今回学んだ「遠い・近い」のコツを使いこなせれば、大きな数字の因数分解もパズルのようにスラスラ解けるようになりますよ。
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