因数分解「2乗－2乗」の公式！項の数で見抜く公式の整理術【中3数学】

「因数分解の公式が混ざると、どれを使えばいいか分からなくなる……」

そんな悩みを持つ人に、真っ先にマスターしてほしいのが今回の「2乗－2乗」の公式です。

実は、この公式は数ある因数分解の中でも「最も見つけやすく、最も速く解ける」ボーナス問題。
ポイントは、式の形を「項の数」で整理することにあります。

今回は、塾講師時代に私が教えていた「一瞬で公式を見破る手順」と、テストでやりがちな「もったいないミス」の防ぎ方を詳しく紹介します。

2乗－2乗の公式はどうやって使ったらいい？

元の式の項が2つしかないのは、共通因数でくくる形か、この公式だけです。
そのため、項が2つで、共通因数でくくれないとわかった時点で、この公式を思い浮かべてください。

公式が使えるかどうかの確認手順は次の通りです。

手順として書きましたが、演習を積めば、ぱっと見でわかるようになります。
この公式自体が難しいというよりは、他の公式と混ざったとき、見抜くのに苦労する公式です。

2乗－2乗の公式を具体例で見てみよ

例1

\(x^2-49\)

• 前の数字
  \(x^2\)：\(x\)の2乗
• 後ろの数字
  \(49\)：\(7^2\)
• 計算の確認
  計算はひき算

よって

\(x^2-49=(x+7)(x-7)\)

例2

\(4x^2-9\)

• 前の数字
  \(4x^2\)：\(2x\)の2乗
• 後ろの数字
  \(9\)：\(3^2\)
• 計算の確認
  計算はひき算

よって

\(4x^2-9=(2x+3)(2x-3)\)

公式確認の順番と、その根拠はまた別記事でまとめています。
ここでは、「2乗－2乗」の公式は、最初に共通因数を確認した後とイメージしておいてください。

ここが落とし穴！「2乗－2乗」の公式のよくあるミス

この公式でよくあるミスは、2乗する前の数字を間違えてしまうミス、間が「プラス」なのに公式を使ってしまうミスの2つです。

2乗する前の数字を間違えてしまうミス

\(x^2 – 9\)を\((x + 9)(x – 9)\)にしてしまうようなミスのことです。

\(9\)は\(3\)の2乗なので、正しくは次の通りです。

\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)

対策：
公式に慣れるまでは、メモ書き程度でいいので元の式の\(9\)のところに\(3^2\)などメモ書きを残して意識するとよいです。

間が「プラス」なのに使ってしまう

\(x^2+16\)を見て\((x+4)(x-4)\)と書いてしまうようなミスのことです。

\(x^2+16\)は、因数分解できないので、この形で出題されることはありません。
でも、応用問題などで、他にも項があったときなどに、ついついやってしまうミスです。

対策：
「2乗の『引き算』のときだけ使える公式」だと整理しよう！

おわりに

因数分解は、闇雲に解くのではなく「どの順番でチェックするか」という戦略がすべてです。

今回紹介した「2乗－2乗」は、共通因数を確認した直後にチェックするのが最も効率的なルート。項が2つしかないという「違和感」を味方につければ、もう迷うことはありません。

これで、基本的な因数分解の武器はすべて揃いました。
次回の記事では、いよいよこれらの武器をどう使い分けるか、最強の「因数分解アルゴリズム」を公開します。
楽しみにしていてくださいね！

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