「変域はグラフを使って解くのはわかったけど、いまいち自信が持てない……」
そんなふうに思っていませんか？
二次関数の変域は、グラフをイメージできるようになれば、どんな問題でも必ず解けるようになります。
関数の変域は、グラフを使って考えると、どんな関数でも考えることができるようになります。
ただ、グラフを「動的に」捉えるのは、今回が初めての経験かもしれません。 二次関数のグラフには「下に凸」「上に凸」の2種類があり、さらに\(x\)の範囲の取り方によって、
- \(y\)がずっと増加するパターン
- \(y\)が増加から減少（またはその逆）に変わるパターン
- \(y\)がずっと減少するパターン
これらを組み合わせた「計6パターン」の読み取り方をマスターすれば、もう変域の問題は怖くありません。
（全部方法は同じです）
今回は、4ステップの解き方を6つの例題で実践し、どんな問題にも対応できる「一生モノの自信」をつけていきましょう！
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二次関数の変域の求め方についてまとめました。
グラフを用いた基本的な解法と、よくミスをする「\(0\)をまたぐパターン」について取り扱っています。
グラフを描く解き方を味方につければ、どんな関数が出てきても一生迷わなくなります。
変域の考え方の基本をぜひマスターしてください。
👉二次関数の変域｜0をまたぐパターンで間違えない「4ステップ」の解き方【中3数学】
二次関数の変域の求め方
一般的な変域の問題は、次の通りです。
関数の式と\(x\)の変域が与えられる
⇒\(y\)の変域を求める
このような問題では、有効な範囲のグラフを描き、そのグラフの\(y\)座標が一番上と下になるときの\(x\)座標を読み取るのが基本的な解法の流れです。
具体的には、次の4ステップで考えると、有効な部分が整理しやすくなります。
変域の問題では、どんなパターンがある？
二次関数の変域の問題は、大きく分けると次の6つのパターンに分類できます。
- 下に凸のグラフ
- \(y\)がずっと増加するパターン
- \(y\)が増加から減少（またはその逆）に変わるパターン
- \(y\)がずっと減少するパターン
- 上に凸のグラフ
- \(y\)がずっと増加するパターン
- \(y\)が増加から減少（またはその逆）に変わるパターン
- \(y\)がずっと減少するパターン
それぞれに違った解き方があるわけではなく、先ほどお示しした解き方ですべてカバーできます。
だから、この6パターンを覚える必要は全くありません。
それぞれのパターンで、先ほどの考え方を運用できるようになれば、変域の基本問題はほとんどマスターしたと言えます。
それでは、次から実際に例題で変域の問題を見ていきましょう。
ここでは、「どんな区間が出てきてもちゃんと考え方を使える」という自信をつけてくださいね。
例題で二次関数の変域を考えてみよう
例題1（下に凸のグラフの問題）
\(y=x^2\)のグラフにおいて、次のそれぞれのときの\(y\)の変域を求めなさい。
1)\(x\)の変域が\(-3≦x≦-1\)
2)\(x\)の変域が\(-1≦ｘ≦2\)
3)\(x\)の変域が\(2≦x≦3\)
【解説】
1)\(y\)の変域：\(1≦y≦9\)
グラフの動き：
\(x\)が\(-3\)から\(-1\)に動く間、グラフはずっと右下がり（減少）
読み取り：
- 一番高いのは\(x = -3\)のとき
→\(y=(-3)^2=9\) - 一番低いのは\(x = -1\)のとき
→\(y = (-1)^2 = 1\)
2)\(y\)の変域：\(0≦y≦4\)
グラフの動き：
\(x\)が\(-1\)から\(0\)に動く間は右下がり（減少）
\(x\)が\(0\)から\(2\)に動く間は右上がり（増加）
読み取り：
- 一番高いのは\(x =2\)のとき
→\(y=(2)^2=4\) - 一番低いのは\(x = 0\)のとき
→\(y = (0)^2 = 0\)
ポイント
\(x=0\)で、減少から増加に変わっています。
最大をとるのは、\(x\)が原点から遠い値（\(x=2\)）のとき。
3)\(y\)の変域：\(4≦y≦9\)
グラフの動き：
\(x\)が\(2\)から\(3\)に動く間、グラフはずっと右上がり（増加）です。
読み取り：
- 一番高いのは\(x = 3\)のとき
→\(y=(3)^2=9\) - 一番低いのは\(x =2\)のとき
→\(y = (2)^2 = 4\)
例題2（上に凸のグラフの問題）
\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}x^2\)のグラフにおいて、次のそれぞれのときの\(y\)の変域を求めなさい。
1)\(x\)の変域が\(-2≦x≦0\)
2)\(x\)の変域が\(-1≦ｘ≦2\)
3)\(x\)の変域が\(2≦x≦3\)
【解説】
1)\(y\)の変域：\(-2≦y≦0\)
グラフの動き：
\(x\)が\(-2\)から\(0\)に動く間、グラフはずっと右上がり（増加）
読み取り：
- 一番高いのは\(x =0\)のとき
→\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(0)^2=0\) - 一番低いのは\(x = -2\)のとき
→\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(-2)^2=-2\)
2)\(y\)の変域：\(-2≦y≦0\)
グラフの動き：
\(x\)が\(-1\)から\(0\)に動く間は右上がり（増加）
\(x\)が\(0\)から\(2\)に動く間は右下がり（減少）
読み取り：
- 一番高いのは\(x = 0\)のとき
→\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(0)^2=0\) - 一番低いのは\(x =2\)のとき
→\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(2)^2=-2\)
ポイント
\(x=0\)で、増加から減少に変わっています。
最大をとるのは、\(x\)が原点から遠い値（\(x=2\)）のとき。
3)\(y\)の変域：\(-3≦y≦-2\)
グラフの動き：
\(x\)が\(2\)から\(3\)に動く間、グラフはずっと右下がり（減少）です。
読み取り：
- 一番高いのは\(x = 2\)のとき
→\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(-2)^2=-2\) - 一番低いのは\(x =3\)のとき
→\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(3)^2=-\frac{9}{2}\)
おわりに
「二次関数の変域は難しい」と感じていた人も、この6つの例題を通して「やることは全部同じなんだ！」と気づけたのではないでしょうか。
大切なのは、式だけで計算しようとせず、小さくてもいいからグラフを描くことです。
- グラフを描く
- 範囲をなぞる
- 一番上と下を見つける
このステップさえ守れば、高校数学の難しい関数に出会っても迷うことはありません。
もし自信がなくなったら、またいつでもこの記事の例題に戻ってきてくださいね。
あなたの「わからない」が「得意！」に変わるのを応援しています！
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