二次関数の変域問題で、
「端の値をそのまま代入したら間違えた」
「なぜか\(y\)の最小値が\(0\)になる理由がすっきりしない」
と悩んでいませんか？
二次関数\(y=ax^2\)の変域の問題を、一次関数と同じ感覚で計算だけで解こうとすると、思わぬ落とし穴にはまってしまいます。
\(y=ax^2\では\(x=0\)の前後で増加と減少が入れ替わるため、文字の代入ではなく「グラフの形」で変化の様子を捉えることが不可欠です。
この記事では、変域問題でやりがちな失敗パターンを整理したうえで、手描きの簡易グラフを使って確実に正解へたどりつく手順を解説します。
論理的なステップに沿って整理すれば、丸暗記に頼らずどんな変域問題も迷わず解けるようになりますよ。
- 端の値を代入するだけでは間違えてしまう理由
- 手描きの簡易グラフを使って\(y\)の最大・最小を見抜く具体手順
- 分数や文字\(a\)を含む応用問題でもミスを防ぐポイント
関数の変域って何？
ある文字の変域とは、その文字がとりえる値の範囲のことで、関数の\(x\)と\(y\)の変域は、関数を通してつながっている
ある文字の変域とは、その文字がとりえる値の範囲のことです。
関数には\(x\)と\(y\)という2つの文字が登場します。
つまり、関数の変域を考えるときは、
- \(x\)の変域（\(x\) がとりえる値の範囲）
- \(y\)の変域（\(y\) がとりえる値の範囲）
の2種類があります。
\(x\)を1つに決めると\(y\)がただ1つに決まるのが、関数での約束です。
だから、\(x\)に変域がつくと、それに応じて\(y\)にも変域ができます。
多くの問題では、\(x\)の変域が先に与えられていて、そこから\(y\)の変域を求めます。
少し難しくなると、\(x\)の変域と\(y\)の変域が両方すでにわかっていて、そこから式の中の文字（例えば\(a\)など）を求める、という問題もあります。
どちらの場合も、\(x\)と\(y\)の変域が関数を通してつながっているという関係は同じです。
この感覚があると、変域の問題で何をしているのかが見えやすくなります。
二次関数\(y=ax^2\)の変域の例題
例題1
\(y = 2x^2\)のとき、\(-2 \leqq x \leqq 3\) の変域を求めなさい
中学数学の基本的な変域の問題は、次の流れになっています。
「関数の式」と「\(x\)の変域」の2つが与えられている
→\(y\)の変域はどうなるか考える
この流れを踏まえたうえで、変域の問題を解くときに、よくやってしまいがちな失敗例から見ていきましょう。
二次関数\(y=ax^2\)の変域の問題のやめた方がよい解き方
二次関数\(y=ax^2\)の変域のNG解答
間違った解答
\(x=-2\)のとき\(y=4\)
\(x=3\)のとき\(y=9\)
よって、\(y\)の変域は\(4 \leqq y \leqq 9 \)
間違っているポイント
この解答は答えも、考え方も間違っています。
一次関数では、こういう解き方をしても問題ありませんでした。
一次関数は「ずっと増えているグラフ」か「ずっと減っているグラフ」のどちらかしかなかったからです。
でも、二次関数のグラフは、「増えている区間」と「減っている区間」が混ざってます。
そのため、一次関数のように端、端だけを代入して考えると、間違ってしまうのです。
中3の二次関数で超重要ポイントなので、増加・減少区間をまたぐ変域はほぼ間違いなく定期テストに出てきます。
二次関数\(y=ax^2\)の変域のいまいちな解答
いまいちな解答
\(x=-2\)のとき\(y=4\)
\(x=3\)のとき\(y=9\)
\(x\)の変域の端がマイナスとプラスなので、最小は\(0\)
\(y\)の変域は\(0 \leqq y \leqq 9\)
よって、\(y\)の変域は\(4 \leqq x \leqq 9 \)
いまいちなポイント
結論から言うと、「答えは合っているけれど、途中の思考プロセスが完全に抜けているから」です。
二次関数\(y = ax^2\)（\(a \gt 0\)の場合）は、\(x = 0\)の前後で「減少から増加へ」変化の向きが切り替わるという特徴があります。
そのため、\(x\)の変域に\(0\)を含む場合、必ず\(x = 0\)のとき最小値\(y = 0\)をとります。
しかし、上記のような解き方をする人の多くは、本質を理解せずに「両端の値を代入して、片方がプラスとマイナスなら片方を0にする」という解法パターンを丸暗記しています。
このような「解法の丸暗記」で乗り切ってしまうと、高校数学に入った瞬間にほぼ確実に壁にぶつかります。
では、どうやって解くのがよいのか、推奨の解答を次で見ていきます。
二次関数\(y=ax^2\)の変域の問題はこうやって解こう！
\(-2 \leqq x \leqq 3\)の範囲で\(y = 2x^2\)のグラフは、下図の下線部分。
よって、\(x=3\)で最大、\(x=0\)で最小となることがわかる。
- \(x=3\)のとき\(y=18\)
- \(x=0\)のとき\(y=0\)
もとめる変域は\(0 \leqq y \leqq 18\)
雑なグラフだなあと思いましたか？
でも、この程度で最大・最小になる\(x\)の位置はちゃんとわかります。
ちなみに、これでかなり丁寧に描いた方です。
ここから、なぜグラフを使った方がいいのか、どうやって考えるのかについてていねいに解説していきます。
二次関数\(y=ax^2\)の変域をグラフで解くメリット
変域をグラフで解けるようになると、いろいろな関数や変域に応用が効く
冒頭でお示しした「マイナスとプラスが混ざる変域の場合は\(0\)が入る」のような丸暗記は、関数が\(y=ax^2\)で、「\(-2 \leqq x \leqq 3\)」のような一定の値に収まる変域のときにしか使えません。
高校で習う他の関数や、「\(x \geqq -2\)」「\(x \leqq 3\)」のような、\(x\)がどこまでも増えたり、減ったりする変域を考えようとすると、とたんに使い物にならなくなります。
さらに、高校に入ってから関数を学習すると、グラフから変域を読み取る力は、ある程度ついていて当然という前提で授業が進みます。
だから、大学進学までを考えているのであれば、しっかりグラフから読み取る力をつけておいた方が後がとても楽になります。
次から、具体的な考え方や、図の描き方について解説していきます。
これぐらいでも大丈夫ですよっていう意味で、手描きのグラフで話を進めていきますね。
二次関数\(y=ax^2\)の変域のグラフを使った求め方
- 変域の問題の基本方針
-
\(y\)が最大・最小になる\(x\)座標をグラフから調べて、正確な\(y\)の値を式に代入して求める
- 変域の問題の具体的な手順
-
- グラフを描く
- \(x\)の変域を書き込んで、範囲内のグラフを太くなぞる
- その範囲内で、\(y\)座標が一番上の点、一番下の点を見つけて\(x\)座標を読み取る
- 関数の式から、そのときの\(y\)座標を計算する
- 変域として答える
- 変域の問題での手描きグラフで気をつけるポイント3つ
-
- グラフの向き（上に凸、下に凸）が正しい
（向きさえあっていれば開き具合は関係なし） - 左右対称になっている
（だいたい対称でOK） - \(x\)の範囲の「位置関係」が正しい
（原点からの遠近が合ってればOK）
- グラフの向き（上に凸、下に凸）が正しい
グラフを使って変域の問題を解くときの、大まかな流れ、具体的な手順、注意するポイントを順番に見ていきたいと思います。
変域の問題の基本方針
変域の問題をグラフで解くときは、次の流れで考えます。
- グラフを描いて、最大・最小になるときの\(x\)を探す
- 探した\(x\)を式に代入して\(y\)を求める
よく「変域はグラフを描いて考える」と説明されます。
実際その通りです。
ただ、ちょっとだけ大ざっぱで、正確にはグラフで探しているのは\(x\)だけです。
「どうやって最大・最小になるときの\(x\)の値をグラフから探すのか」について解説していくので、この流れを頭に入れたまま続きを読んでください。
\(y=ax^2\)の変域の問題で、グラフを描いて問題を読み取る具体的な手順
グラフを描く
まず、グラフの描き方です。
ここは、「描き方」ではなく、「手の抜き方」を身につけるイメージを持つとよいです。
線2本十字に引いてください。
メモ書きの場合は、これで十分です。
テストの根拠として描くときは、軸の上と右は矢印にして、先に\(x,y\)の文字を描いておくのと、軸がクロスする部分に\(0\)と書いておけばOKです。
放物線を描きます。
後でも触れますが、上に凸か、下に凸かだけ合っていれば大丈夫です。
ここまで、数秒で描けます。
慣れてくると、問題文読みながらグラフを描き終わるようになりますよ。
\(x\)の変域を書き込んで、範囲内のグラフを太くなぞる
例：\(-2 \leqq x \leqq 3\)の場合
- 「\(-2 \leqq x\)」
→ \(x\)座標が\(-2\)より右側 - 「\(x \leqq 3\)」
→\(x\)座標が\(3\)より左側 - 合わせると「\(-2\)より右、\(3\)より左」の範囲
この範囲に入っているグラフの部分を太くなぞります。
その範囲内で、\(y\)座標が一番上の点、一番下の点を見つけて\(x\)座標を読み取る
グラフは「式を満たす点の集まり」です。
式を満たす\(x,y\)を座標上にとっていってできるのがグラフの線です。
そして、座標では右に行くほど\(x\)が大きく、上に行くほど\(y\)が大きくなります。
まとめると、次のようになります。
- 太くなぞった範囲の中で 一番上の点
→\(y\)の最大値 - 太くなぞった範囲の中で 一番下の点
→ \(y\)の最小値
見つけたいのは「\(y\)が最大・最小になるときの\(x\)座標」なので、グラフの中から、一番上の点、一番下の点を見つけて、そのときの \(x\)座標をグラフから読み取ります。
いつ\(y\)が最大・最小になるかはグラフから、正確な\(y\)の値は式から
どんな\(x\)で最大・最小になるかがわかれば、式にその\(x\)の値を代入して\(y\)の最大値・最小値を求めてください。
フリーハンドのグラフでは、どれだけ正確に描いたつもりでも正しい値は読み取れません。
- いつ最大・最小になるかはグラフ
- 正確な\(y\)の値は式
と役割分担して、値を調べます。
繰り返しになりますが、大事なのは手の抜き方です。
手を抜くためには、「何が大事か」をしっかり理解しないといけません。
ここからは、その大事なポイントについてまとめていきます。
変域の手描きグラフで押さえておくべき3つのポイント
グラフの向き（上に凸、下に凸）が正しい
まず押さえるべきポイントがグラフの向きです。
次の2つがわかっていれば大丈夫です。
- \(a > 0\)
下に凸（ 上に開く） - \(a < 0\)
上に凸（ 下に開く）
グラフの向きが逆になっていると、最大と最小が逆転するので注意してください。
誤解されがちですが、グラフの開き具合は不正確でも構いません。
開き具合が変わると最大・最小の\(y\)の位置が不正確になりますが、最大・最小をとる\(x\)の位置は変わりません。
グラフから読み取りたいのは\(x\)だけ。
だから、開き具合は適当に描いて大丈夫なんです。
左右対称になっている
\(y=ax^2\)のグラフは、必ず\(y\)軸を中心に左右対称です。
ここであまりにも左右非対称だと、最大・最小をとる\(x\)の読み取り結果がずれてしまいます。
ただ、わざと左右非対称に描こうとして描かない限りは問題はないので、そこまで気にしなくても大丈夫です。
\(x\)の範囲の「位置関係」が正しい
これが一番大事です。
例えば、\(x\)が「\(-2≦x≦3\)」なら
・-2は0より左
・3は0より右
・0からの距離は、3の方が遠い
という関係を正しく描くことが大切です。
この「距離感」がずれると、最大・最小になる\(x\)を読み間違えてしまいます。
ここをうまく描くコツは、1の目盛りを決めておくことです。
1の場所はどこに書いても大丈夫です。
これを基準に、負の方向にだいたい2倍のところに2、正の方向にだいたい3倍のところに3をとれば、大きく距離感を間違えることはありません。
二次関数\(y=ax^2\)の変域の練習問題
練習問題1：下に凸のグラフの変域の問題
\(y=x^2\)のグラフにおいて、次のそれぞれのときの\(y\)の変域を求めなさい。
1)
\(x\)の変域が\(-3≦x≦-1\)
2)
\(x\)の変域が\(-1≦ｘ≦2\)
3)
\(x\)の変域が\(2≦x≦3\)
1)の回答・解説はこちらをクリック
解答
\(1≦y≦9\)
考え方
下に凸のグラフを描いて\(-3≦x≦-1\)の範囲のグラフを太くなぞる
- 一番高いのは\(x = -3\)のとき
- 一番低いのは\(x = -1\)のとき
- \(x = -3 \rightarrow y=(-3)^2=9\)
- \(x = -1 \rightarrow y = (-1)^2 = 1\)
2)の回答・解説はこちらをクリック
解答
\(0≦y≦4\)
考え方
下に凸のグラフを描いて\(-1≦ｘ≦2\)の範囲のグラフを太くなぞる
- 一番高いのは\(x =2\)のとき
- 一番低いのは\(x =0\)のとき
- \(x = 2 \rightarrow y=(2)^2=4\)
- \(x = 0 \rightarrow y = (0)^2 = 0\)
3)の回答・解説はこちらをクリック
解答
\(4≦y≦9\)
考え方
下に凸のグラフを描いて\(2≦x≦3\)の範囲のグラフを太くなぞる
- 一番高いのは\(x =3\)のとき
- 一番低いのは\(x =2\)のとき
- \(x = 3 \rightarrow y=(3)^2=9\)
- \(x = 2\rightarrow y = (2)^2 = 4\)
練習問題2：上に凸のグラフの変域の問題
\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}x^2\)のグラフにおいて、次のそれぞれのときの\(y\)の変域を求めなさい。
1)
\(x\)の変域が\(-2≦x≦0\)
2)
\(x\)の変域が\(-1≦ｘ≦2\)
3)
\(x\)の変域が\(2≦x≦3\)
1)の回答・解説はこちらをクリック
解答
\(-2≦y≦0\)
考え方
下に凸のグラフを描いて\(-2≦x≦0\)の範囲のグラフを太くなぞる
- 一番高いのは\(x = 0\)のとき
- 一番低いのは\(x = -2\)のとき
- \(\displaystyle x = 0 \rightarrow y=- \frac{1}{2}(0)^2=0\)
- \(\displaystyle x = -2 \rightarrow y=- \frac{1}{2}(-2)^2=-2\)
2)の回答・解説はこちらをクリック
解答
\(-2≦y≦0\)
考え方
下に凸のグラフを描いて\(-1≦ｘ≦2\)の範囲のグラフを太くなぞる
- 一番高いのは\(x =0\)のとき
- 一番低いのは\(x =2\)のとき
- \(\displaystyle x = 0 \rightarrow y=- \frac{1}{2} \times 0^2=0\)
- \(\displaystyle x = 2 \rightarrow y=- \frac{1}{2} \times 2^2=-2\)
3)の回答・解説はこちらをクリック
解答
\( \displaystyle -\frac{9}{2}≦y≦-2\)
考え方
下に凸のグラフを描いて\(2≦x≦3\)の範囲のグラフを太くなぞる
- 一番高いのは\(x =2\)のとき
- 一番低いのは\(x =3\)のとき
- \(\displaystyle x = 2 \rightarrow y=- \frac{1}{2} \times 2^2=-2\)
- \(\displaystyle x = 3 \rightarrow y=- \frac{1}{2} \times 3^2=-frac{9}{2}\)
計算ミスしやすい変域の問題
\(x\)の変域の端が分数の問題では、端点の大小が見えづらくなり、代入計算も複雑になるため、ミスが増える
変域の問題で計算ミスが増えるのは、次のような\(x\)の変域の端が分数になっているときです。
\[-\frac{2}{3} \leqq x \leqq \frac{3}{4}\]
端点が分数になると、計算ミスが増える理由は次の2つです。
- 代入計算が複雑になる
- \(y\)軸からの距離がわかりづらくなる
「気をつけて計算しよう」では、ミスは絶対に減りません。
人間の集中力は限られているので、「どこでミスが起きるか」を特定して、具体的な対策（行動）を決めておく必要があります。
人間の集中力は限られています。
間違いやすいところをピンポイントに絞って、そこの対策を立てるようにしないと、計算ミスは減らないのです。
変域の問題については、次の2つの場合がミスしやすいポイントです。
- 代入計算（特にマイナス）
対策：必ずカッコをつけて代入する
例：\( \displaystyle x = -\frac{2}{3}\)のときは\( \displaystyle y = a(-\frac{2}{3})^2_)と書く - グラフの距離感（どっちが\(y\)軸から遠いか）
対策：頭の中で通分して、分子の大きさで距離を比べる
例：\( \displaystyle -\frac{2}{3}\) と \( \displaystyle \frac{3}{4}\)なら、\( \displaystyle -\frac{8}{12}\)と \( \displaystyle \frac{9}{12}\)だから右の方が遠い
手持ちの問題集で分数の変域を見つけたら、この2つの「行動チェック」だけ意識して解いてみてください。
最後に、変域から\(y=ax^2\)の\(a\)を求める問題について考えてみましょう。
二次関数\(y=ax^2\)の\(a\)を変域から求める例題
例題2
関数\(y=ax^2\)について、\(x\)の変域が\(-4 \leqq x \leqq 2\)のときの\(y\)の変域が\(0 \leqq y \leqq 4\)である。
このとき\(a\)の値を求めなさい。
少し出題形式が違いますが、「グラフ最大まらは最小になる\(x\)を読み取る」という方針については同じです。
二次関数\(y=ax^2\)の\(a\)を変域から求める例題の解答と考え方
解答
\(y \geqq 0 \)なので、\(a \lt 0\)
よってグラフは下図
図から、\(x=4\)のときに\(y\)が最大になることがわかる。
よって\(x=4\)のとき\(y=4\)
\(y=ax^2\)に\(x=4,y=4\)を代入して
\[4=16a\]
\[a = \frac{1}{4}\]
ちなみに、練習問題のときのグラフをそのまま使っています。
「開き具合なんて、本当に関係ないんだ」って実感してもらえると嬉しいです。
考え方
- 式を求めるときは、まず式を満たす\(x,y\)を探す
- \(y=ax^2\)の値は、\(0\)以上（\(a \gt 0\)か、\(0\)以下\(a \lt 0\)
- グラフを使って、\(y\)が最大になるときの\(x\)を探す
ポイントは上の2つです。
どういうことか具体的に見ていきます。
式を求めるときは、まず式を満たす\(x,y\)を探す
どんな関数についても言えることですが、ほとんどの場合、式を求めるためには「その式を満たす\(x,y\)の組み合わせ」がわからなければいけません。
そのため、「式を求めたり、式の一般形で使っている文字を求める⇒\(x,y\)を探す」と発想を切り替えらるようにしてください。
知識として覚えるといよりは、自転車の乗り方なんかに近くて、習慣の話になってきます。
ぼくの基準ですが、「式を求めなさい」と見て3秒ぐらいで発想が切り替わらないなら、勉強が十分ではないです。
この切り替えに時間がかかると、試験で緊張したり、はじめてみる問題が出たりしたときに、普段できていることも、できなくなってしまいます。
今回の問題でも、\(a\)を求めなさいと言われた瞬間に「式を満たす\(x,y\)を探す」と方針を立てます。
\(y=ax^2\)の値はいつも\(0\)以上（\(a \gt 0\)）か、\(0\)以下（\(a \lt 0\)）
2乗すると、どんな数でも\(0\)以上になるので、\(x^2\)は0以上です。
そのため、\(y=ax^2\)の場合、\(y\)が\(0\)以上になるためには\(a \gt 0\)、\(y\)が\(0\)以下になるためには、\(a \lt 0\)である必要があります。
今回は\(y\)の変域が\(0 \leqq x \leqq 4\)で、\(0\)以上とわかっているため、\(a \gt 0\)であり、下に凸なグラフであるとわかります。
詳しくは、\(y=ax^2\)の値の特徴についての別記事で詳しくまとめたので、そちらをご参照ください。
■二次関数\(y=ax^2\)の式の値の特徴について、根拠から理解を深めたい方はこちら
グラフを使って、\(y\)が最大になるときの\(x\)を探す
グラフを使って、\(y\)が最大（または最小）になるときの\(x\)を探します。
今回は、\(y\)の最大があらかじめ\(4\)とわかっているので、\(y\)が最大になるときの\(x\)がわかれば、その\(x\)と\(y=4\)が式を満たす\(x,y\)の組み合わせだとわかります。
ここまでわかれば、あとは\(y=ax^2\)の式に代入すると求められます。
二次関数\(y=ax^2\)の変域の問題まとめ
二次関数の変域問題のコツは、「グラフから最大・最小となる\(x\)の位置を見つけ出すこと」です。
解法のパターンを丸暗記するのではなく、簡単なグラフを描いて変化の向きや位置関係を確認する習慣をつけましょう。
この視覚的なアプローチを身につけておけば、今後の高校数学で扱うより複雑な関数でも、自信を持って解き進めることができるはずです。
【今回の重要ポイント】
- 役割分担を意識する：最大・最小をとる\(x\)の位置は「グラフ」で探し、正確な\(y\)の値は「式」で計算する
- 手描きグラフの3要素を押さえる：①向き（上に凸・下に凸）、②左右対称性、③\(x\)の範囲の位置関係（ \(y\)軸からの距離）を正しく描く
- 分数・文字を含む問題の対策：マイナスの代入はカッコをつけ、端点の距離感は通分して比較する
【次にやってみよう】
お手元の問題集を開き、まずは 1 問だけ「十字の軸と簡易グラフ」を手描きして変域を求めてみましょう。
グラフを描いて解く感覚が掴めたら、変域の問題はどんな問題でもすらすら解けるようになりますよ。
■二次関数\(y=ax^2\)の式の値の特徴について、根拠から理解を深めたい方はこちら
■二次関数\(y=ax^2\)のグラフの特徴について、根拠から理解を深めたい方はこちら
コメント