一次方程式、食塩水の文章題｜なぜ迷う？考え方をゼロから整理【中1数学】

「食塩水の文章題って、何か複雑…」
そんなこと思っていませんか？

一次方程式の文章題の中でも、食塩水の問題は複雑に感じやすく、何をやっているのかが見えづらいです。
それは、「何と何が等しいか」が文章中にはっきりと書かれていなかったり、そもそもの濃度計算に苦手意識があることが原因です。

今回の記事では、食塩水の例題を用いて、一つ一つの考え方について丁寧に解説していきます。
読み終わるころには、どういう理屈で等式を立てているのかがわかり、考えをまとめやすくなると思いますよ。

一次方程式の「食塩水の文章題」の例題

方程式の食塩水の文章題では、次のコツを意識しながら考えていきいます。

【コツ1】5つのステップに沿って式をつくる

等式をつくる作業は1つの作業ではなく、5つのステップのあつまりです。
一気に処理しようとすると、どこまでがわかっていて、どこが難しいのかがわかりづらいので、ステップに分割して考えていきます。

【コツ2】「何についての等式か」を考える

等式の両辺は必ず同じものを表しているので、一言で「〇についての式」と言うことができます。
食塩水の文章題では、「食塩の量」についての式をつくっていきます。

【コツ3】「1あたり」「基準の数」「結果の数」の3つの要素について整理する

食塩水の文章題では「濃度」「食塩水の量」「食塩の量」の3つです。
基本的に、これ以外は考えなくても大丈夫です。

一次方程式の「食塩水の文章題」のポイント

食塩水の文章題での等しい関係の見つけ方

食塩水の問題では、文章中にはっきりとした言葉が出てこないため、等しい関係が見えづらいです。

そのため、「混合する前後で食塩の量は変わらない」ということから、「\(\text{(混合前の食塩の量)}=\text{(混合後の食塩の量)}\)」という等式をつくるということを必ず押さえておいてください。

ここが見えていると

1. 混合前、混合後で、それぞれどんな食塩水や真水、食塩があるか整理する
2. 混合前後の食塩の量がどの程度あるか整理する
3. 等式をつくる

と順を追って考えていくことができます。

食塩の量の表し方

例題では、\(\text{「(食塩の量)}=\text{(濃度)} \times \text{(食塩水の量)}」\)の関係を使って食塩の量を表しました。

今回の場合は、この方法以外に食塩の量の表し方がないので特に悩む必要はありませんが、次のようなケースの場合、この関係を使わなくても食塩の量を表せることがあります。

例）水200g、食塩\(x\)gを混ぜてつくった5％の食塩水中の食塩の量

このとき食塩の量は、次の2通りで表せます。

• \(x\)g
  問題文通り
• \((0.05(200+x))\)g
  食塩水の量\((200+x)\)gに濃度をかけた

こういう場合でも、食塩水の量、濃度、食塩の量の関係を使った表し方（2番目）を優先するようにしてください。

食塩の量が\(x\)g、\((0.05(200+x))\)gという2つの表し方を見ると、前者には置いた文字の情報しか入っていないですが、後者には濃度、水の量など与えられた情報がすべて入っています。

一次方程式では、問題文の情報を1つの式にすべて盛り込まなければならないため、できるだけ情報を盛り込める形で表すようにしなければならないのです。

一次方程式の「食塩水の文章題」のその他のパターンと考え方

「食塩水同士を混ぜる」問題が基本ですが、「真水に塩を溶かす」「食塩水に真水を混ぜて薄める」「食塩水を混ぜるときの濃度を求める」など、他のパターンの問題もあります。

どの場合でも、「混合の前後で食塩の量は変わらない」が軸になります。
それぞれのパターンと、考え方のポイントだけご紹介します。

【真水に塩を溶かす】

水190gに食塩を混ぜて、5％の食塩水をつくりたい。
混ぜる食塩の量は何gか。

混ぜる食塩の量を\(x\)gとおくと、

• 混ぜる前
  ⇒水190gと食塩\(x\)g
  ⇒食塩は\(x\)g
• 混ぜた後
  ⇒5％の食塩水\((190+x)\)g
  ⇒食塩は\((0.05(190+x))\)g

混ぜる前後の食塩の量は変わらないので

\[x=0.05(190+x)\]

混ぜた後の食塩の量も\(x\)gですが、そう表してしまうと、\(x=x\)のような身もふたもない等式しか作れません。

【食塩水に真水を混ぜて薄める】

5％の食塩水に水150gを混ぜて、2％の食塩水をつくりたい。
5％の食塩水は何g必要か。

5％の食塩水を\(x\)gとおくと、

• 混ぜる前
  ⇒5％の食塩水\(x\)gと水150g
  ⇒食塩は\(0.05x\)g
• 混ぜた後
  ⇒2％の食塩水\((x+150)\)g
  ⇒食塩は\((0.02(x+150))\)g

混ぜる前後の食塩の量は変わらないので

\[0.05x=0.02(x+150)\]

【食塩水を混ぜるときの濃度を求める】

濃度がわからない食塩水200gに4％の食塩水100gを混ぜて、6％の食塩水を作るには、何％の食塩水が必要か。

食塩水の濃度を\(x\)％とおくと、

• 混ぜる前
  ⇒\(x\)％の食塩水200gと4％の食塩水100g
  ⇒食塩は\(\displaystyle \frac{x}{100} \times 200 +0.04 \times 100\)g
• 混ぜた後
  ⇒6％の食塩水300g
  ⇒食塩は\(0.06 \times 300 \)g

混ぜる前後の食塩の量は変わらないので

\[\frac{x}{100} \times 200 +0.04 \times 100 = 0.06 \times 300 \]

一次方程式の「食塩水の文章題」のまとめ

今回の記事のまとめは次の通りです。

• 食塩水の文章題は「等しい関係」を見つけづらい
• 食塩水の文章題では「食塩の量」に注目して、\(「\text{(混合前の食塩の量)}=\text{(混合後の食塩の量)」}\)の式を立てる
• 濃度がわかっている場合の食塩の量は\(\text{「(食塩の量)}=\text{(濃度)} \times \text{(食塩水の量)}」\)の関係をつかって食塩の量を表す

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