「文章題になると、急に式が立てられなくなる……」
そう悩んでいませんか？
特に『余り』や『不足』が出てくる問題は、「足すんだっけ？引くんだっけ？」と混乱する方は多いです。
実は、一つだけ意識しておくと、そういった迷いを減らすことができます。
「何についての等式を考えているのか」を意識できていると、等式の見え方が変わります。
この記事では、方程式の基礎である「等号（＝）の意味」から、「何についての等式か」を意識するとはどういうことなのかを、過不足の問題を解きながら解説していきます。
- 方程式の文章題で等式を立てるときに難しいポイント
- 「何についての等式か」という考え方と、その使い方
- 過不足の情報から全体の個数を式で表すコツ
方程式の立て方のコツ（復習）
【方程式の文章題、式の立て方の5ステップ】
- 何を\(x\)でおくか決める
- 等しい関係を見つける
- 関係を日本語のまま式にする
- 必要な数や条件を整理する
- 日本語の式を数式に直す
文章題で等式を立てるコツは、ステップを分割することです。
そうすると、考えがとてもクリアになります。
この中でも、③の「関係を日本語のまま式にする」ステップは慣れないと難しいです。
文章から数式への翻訳作業で、考えなければいけないことも多いうえ、文章から数式が見えづらいこともあります。
しかし、ここで「何についての等式を立てているのか」を意識すると、ぐっと考えが整理しやすくなります。
次からは、「何についての等式を立てているのか」を意識するとはどういうことかを具体的に見ていきます。
詳しくは前回記事で解説しています。
方程式の文章題の基本になるので、まだの方はまずこちらをお読みください。
👉方程式の文章題、どこから考える？式の立て方を5ステップで整理【数学の考え方】
方程式が苦手な理由は「計算」ではなく「翻訳」にある
等式を立てるときに大事なことは、「何についての式か」を意識すること
これがどういう意味か、等号の意味から説明します。
中学数学での「＝（等号）」は「左と右のバランス」
小学校では「2+3=5」のように、計算結果を表す記号として使います。
しかし、中学以降は「左辺と右辺が等しい」という関係を表す記号になります。
この「両辺が等しい」という性質が、等式を作るときにとても大事です。
等式の右辺と左辺は同じもの
等式の両辺は必ず等しいため、左辺と右辺が表しているものは必ず同じです。
たとえば、等式の左辺が代金を表していれば、必ず右辺も代金を表しています。
右辺が代金を、左辺が個数を表しているということは、絶対に起こりません。
だから、等式は、必ず「代金についての等式」や「きょりについての等式」など、「何についての等式か」を一言で表すことができるのです。
これを意識できると、方程式の立てやすさがぐんと変わります。
理由の説明は後に回して、まず間違いが多い過不足の文章題を解説します。
【実践】過不足の問題で「お菓子全体の数」を式にするコツ
例題1（全体の個数が数字でわかっている問題）
60個のお菓子を子どもたちに分ける。
1人に4個ずつ分けようとすると12個不足する。
子どもの人数は何人か？
【解説】
①何を\(x\)でおくか決める
子どもの人数を\(x\)人とおきます。
②等しい関係を見つける
「60個のお菓子を子どもたちに分ける。1人に4個ずつ分けようとすると12個不足する。」
この部分から等式を作ります。
③関係を日本語のまま式にする
今、お菓子の数が全部で「60個」とわかっているので、「お菓子の全体の個数についての等式」を立てます。
そのため、「1人に4個ずつ分けようとすると12個不足する。」の部分から「全体の個数」を表す式が作れないか考えます。
- 1人に4個ずつ分ける
→4×（人数）個のお菓子が必要 - 12個不足する
→全体の個数は、これより12個少ない
よって、全体の個数は
4×（人数）－12
と表せます。
全体の個数は60個なので
4×（人数）－12 = 60
という等式をつくることができます。
④必要な数や条件を整理する
今回の式で未知数は人数だけなので、人数を\(x\)として代入します。
⑤日本語の式を数式に直す
③、④から
\[4x-12=60\]
と等式をつくることができました。
例題1のような出題は少なく、実際はほとんどが例題2のような形です。
ただし、「過不足の情報から全体の個数を表す」という考え方は同じです。
例題2（2通りの過不足の情報が与えられた問題）
あるお菓子を子どもたちに分ける。
1人に3個ずつ分けると6個余り、1人に4個ずつ分けると12個不足する。
子どもの人数を求めなさい。
【解説】
①～②
子どもの人数を\(x\)人とおきます。
「1人に3個ずつ分けると6個余り、1人に4個ずつ分けると12個不足する。」
この部分から等式を作ります。
③関係を日本語のまま式にする
例題1で確認した通り、分ける数と過不足の数がわかっていれば、「お菓子全体の個数」を表すことができます。
そのため、等式は「お菓子全体の個数についての等式」を立てます。
「1人に3個ずつ分けると6個余り」の部分を考えます。
- 1人に3個ずつ分ける
→3×（人数）個のお菓子が必要 - 6個余る
→全体の個数は、これより6個多い
よって、全体の個数は
3×（人数）+ 6
と表せます。
また、「1人に4個ずつ配ると12個不足」という情報から、全体の個数は、
4×（人数）－12
と表せます。
それぞれ、どちらも「お菓子全体の個数」を表しているので
3×（人数）+ 6 = 4×（人数）－12
という等式をつくることができます。
この問題は、「分ける」に引っ張られて割り算をしたり、「余る」「足りない」の言葉だけで覚えようとして、過不足の部分の符号を間違えたりというミスがとても多いです。
④～⑤
今回の式でも未知数は人数だけなので、人数を\(x\)として代入して
\[3x+6=4x-12\]
と等式をつくることができました。
この問題は、「お菓子の全体の個数についての等式」とさえ見れていれば、あとは「過不足の情報から全体の個数の式を作れるか」という点が山場になります。
なぜ「何についての式か」を決めると、迷いが消えるのか？
なぜ、「何についての等式か」を意識した方がよいかというと、計算の種類は「何を求めるか」によって決まるからです。
たとえば、4と2があります。
「足しますか？引きますか？かけますか？割りますか？」
そんなことを聞かれても決められませんよね？
- 男性が4人、女性が2人、合計は？
→ 足し算 - お菓子が4個あって、そのうち2個を食べました、残りは？
→ 引き算 - お菓子を1人4個ずつ分けました。人数は2人います。全部で何個？
→かけ算 - 4個のお菓子を2人で分けました。1人分のお菓子は何個？
→ 割り算
のように、「何を知りたいか」によって計算は決まるのです。
等式を立てるときは、関係性が複雑になりがちです。
そうすると、意識しないと「何の式を作っているか」がわかりづらくなり、どう計算すべきか見えなくなるのです。
「何についての等式か」を意識しておくだけで、必要な計算が見えやすくなるのです。
等式の立て方のコツ：「何についての等式か」を考えることについてのまとめ
今回の記事のまとめは以下の通りです。
- 文章から数式への翻訳は、等式を立てるときに難しいポイントの1つ
- 等号「＝」の意味は、「左辺と右辺が等しい」
- 等式は、必ず「○○の式」と一言で表すことができる
- 「何についての式か」を意識できていれば、計算での迷いが減るので等式を立てやすくなる
今回の記事はここまでです。
等式を立てるときに大切なのは、「何の話をしているのか」を見失わないことです。
もし問題の途中で手が止まったら、一度ペンを置いて「何についての等式なのか」を考えてみてください。
計算は、そこから見えてきます。
この視点は、この先の「速さ」や「割合」の文章題の理解にもつながっていきます。
次の記事では、「◯の方が△大きい」のような大小関係を、等式を使って表すコツについて解説しています。
テストでも頻出な上に、よく間違えるところなので、ぜひ読んでみて、テストの得点アップにつなげてください。
👉方程式の文章題｜「どっちに足す？」大小関係を等式にするコツを徹底解説【中1数学】
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