【中3数学】y=ax²のグラフの特徴と用語の解説！凸や対称性の違いも丸わかり

「二次関数のグラフって、どんな形になるんだろう？」
「グラフの言葉が多くてなかなか覚えられない…」
そんな悩みを抱えていませんか？

二次関数\(y=ax^2\)のグラフは、\(y\)軸に対称な曲線になりますが、そういう形になる理由がちゃんとあります。
そして、式の値の変化をていねいに見ていけば、直感的に理解できるようになります。
また、グラフのかたちがイメージできるようになると用語も整理しやすくなります。

この記事では、そもそも「グラフとは何か」という基本から出発し、式の性質がどのようにあの独特な形（放物線）を作るのかを順を追って整理していきます。

この記事を読んだら、式からグラフをイメージすること力がつきますよ。

二次関数\(y=ax^2\)のグラフってどんな形？

\(y=ax^2\)のグラフの形の特徴をとらえるために、まず「関数のグラフとは何か」というところからはじめていきます。

関数のグラフって何？

グラフは、「関数の式を満たす\(x\)と\(y\)のペアを、無数に打ってできた点のあつまり」です。

次の二次関数を例に考えてみます。

\[y=x^2…①\]

\(x=1,y=1\)の組み合わせは、①を満たします。
そのため、\(y=x^2\)のグラフは、点\((1,1)\)を通ります。

他には、\( \displaystyle x = \frac{1}{2},y=\frac{1}{4}\)も①を満たすため、\(y=x^2\)のグラフは点\(\displaystyle ( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} )\)も通ります。

このように、式に当てはまる\(x,y\)の組み合わせを無数に打っていくとグラフになるのです。

関数のグラフの形の特徴は、式の値の特徴

関数の式を満たす\(x,y\)の組み合わせを座標にとっていったものがグラフでした。

そのため、関数の式の値の特徴がグラフの特徴として表れています。

二次関数\(y=ax^2\)の場合、式の値の特徴は次の4つです。

• \(y\)の値は常に\(0\)以上（\(a \gt 0\)のとき）か\(0\)以下（\(a \lt 0\)のとき）
• \(y=0\)以外は、同じ\(y\)になる\(x\)が2つある
• \(x\)が増えたときの\(y\)の変化が「減少から増加（\(a \gt 0\)のとき）」または「増加から減少（\(a \lt 0\)のとき）」に切り替わる
• \(x\)の値の絶対値が大きくなるほど、\(y\)の変化幅が大きい

これが、グラフにどう表れているか、具体例で見ていきましょう。

\(y=x^2\)のグラフで形の特徴を考えてみよう

まず、\(y=x^2\)に、\(x=0, \pm 0.5,\pm1,\pm2,\pm3\)を代入して表をつくります。

\(x\)：	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-0.5\)	\(0\)	\(0.5\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)：	\(9\)	\(4\)	\(1\)	\(0.25\)	\(0\)	\(0.25\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)

表で計算した点をとると次のようになります。

もちろん、この表で計算した値以外にも、\(y=x^2\)を満たす\(x,y\)は存在します。
そのため、今とった点の間には、次の図のように無数の点があります。

こうやって点を無数にとっていくと、やがて線になります。
これが、二次関数のグラフです。

グラフが\(x\)軸の上側

\(a \gt 0\)のとき、\(y=ax^2\)では\(y\)の値は常に\(0\)以上です。

グラフは「関数の式を満たす点のあつまり」で、その点の\(y\)はすべて\(0\)以上なのです。
そのため、点を打つのは「\(y\)が\(0\)以上のゾーン（\(x\)軸よりも上）」に限られます。

だから、\(y=ax^2\)で\(a \gt 0\)のグラフは必ず\(x\)軸の上側にくるのです。

グラフは\(y\)軸に関して線対称

\(y=0\)となる\(x\)は\(x=0\)（原点）のみですが、それ以外は、同じ\(y\)になる\(x\)はいつも2つずつあります。

また、\(y=ax^2 \)では、その2つは、絶対値が同じで符号が違う値になります。
たとえば、\(y=4 \)となるのは\(x=2\)と\(x=-2\)です。

この2点は、座標では、「高さが\(4\)で、\(y\)軸から右、左に\(2\)だけ離れたところ」にある、\(y\)軸を挟んで、同じ距離だけ離れている点です。

このような\(y\)軸を挟んで同じ距離だけ離れている点同士が無数に集まるため、\(y=ax^2\)のグラフは\(y\)軸に関して線対称になるのです。

グラフが原点で出っ張った形になる

なぜ、\(y=ax^2\)のグラフが原点で出っ張った形になるのか、\(y=x^2\)の値から考えてみましょう。

\(x\)がマイナスの範囲のときは\(x\)が増えると\(y\)は減っていきます。

\(x:-3 \rightarrow -1 \text{のとき} y:9 \rightarrow 1\text{となり} y \text{は} 8 \text{減少}\)

これが、\(x\)がプラスの範囲に変わると\(x\)が増えると\(y\)は増えていきます。

\(x:1 \rightarrow 3 \text{のとき} y:1 \rightarrow 9\text{となり} y \text{は} 8 \text{増加}\)

この値の動きをグラフで見ると、\(y\)軸より左側ではグラフは右肩下がりで、原点で反転して、\(y\)軸より右側ではグラフが右肩上がりになります。

そのため、グラフは原点で出っ張った形になるのです。

\(y\)軸から離れるほど、傾きが急になる（曲がる）

同じ「\(x\)が\(1\)増える」でも、\(x\)の絶対値が小さい範囲では\(y\)の値はゆるやかにしか変化しませんが、絶対値が大きくなるほど\(y\)の値は一気に変化します。

たとえば、

• \(x:0 \rightarrow 1 \text{のとき} y:0 \rightarrow 1\text{となり} y \text{は} 1 \text{増加}\)
• \(x:2 \rightarrow 3 \text{のとき} y:4 \rightarrow 9\text{となり} y \text{は} 5\text{増加}\)

となり、\(x\)の絶対値が大きい方が、同じ\(x\)が\(1\)増加するのに対して\(y\)が増加していることがわかります。

これを、グラフ上の動きとして見ると、同じだけ右に動いても原点に近いと上下には緩やかにしか動かないが、原点から離れるほど、急に上下に動いていることになります。

その結果、二次関数\(y=ax^2\)のグラフは曲線になるのです。

\(y=-x^2\)のグラフだとどういうグラフになる？

\(y=-x^2\)のグラフも同様に考えます。

\(x\)：	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-0.5\)	\(0\)	\(0.5\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)：	\(-9\)	\(-4\)	\(-1\)	\(-0.25\)	\(0\)	\(-0.25\)	\(-1\)	\(-4\)	\(-9\)

これも、同じように点を打っていくと、下図のようなグラフを描くことができます。

「\(y\)軸に関して線対称」「原点で出っ張っている」「\(y\)軸から離れるほど傾きが急になる」という特徴は\(y=x^2\)と変わりません。
でも、\(y\)の値が常に\(0\)以下なので、グラフは\(y\)軸の下にあります。
また、\(x\)がマイナスのときは\(x\)が増加すると\(y\)も増加、\(x\)がプラスのときは\(x\)が増加すると\(y\)が減少するようになるため、出っ張りの向きが\(y=x^2\)のときと逆向きになります。

\(y=ax^2\)のグラフの用語を整理

関数の式の値からグラフがイメージできるようになったら、今度は用語を整理します。

グラフ自体は、別の呼び方で放物線と呼ばれます。
「物を放ったときの線」という意味です。

高校の物理で学びますが、実際に、物を投げたときの軌道は二次関数で表されます。

\(y\)の値の増加・減少が入れ替わる出っ張った点は、二次関数でも特別な点なので頂点と呼ばれます。
\(y=ax^2\)の場合は原点が頂点です。

そして、頂点を通る縦の線を軸と呼びます。
\(y=ax^2\)の場合は\(y\)軸がグラフの軸です。

二次関数の向きは、どっちに出っ張っているかで表しますが、\(a \gt 0\)で下向きに出っ張るグラフを
「下に凸」、逆に\(a \lt 0\)で上向きに出っ張るグラフを「上に凸」と呼びます。

\(y=ax^2\)の\(a\)の違いでグラフはどう変わるの？

\(a\)の符号によってグラフの向きが決まる

先ほど例に挙げた、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフを思い浮かべるとわかりやすいと思います。

\(y=x^2\)のグラフは、\(x\)がマイナスの範囲では右に進むほど下がっていき、\(x\)がプラスの範囲に入ると一転して上がっていきます。
そのため、グラフは下に出っ張った（上に開いた）、下に凸のグラフになります。

逆に、\(y=-x^2\)のグラフは、\(x\)がマイナスの範囲では右に進むほど上がっていき、\(x\)がプラスの範囲に入ると下がっていきます。
グラフは上に出っ張った（下に開いた）、上に凸のグラフになります。

二次関数\(y=ax^2\)では、この2つに限らず「\(a\)がプラスなら下に凸」「\(a\)がマイナスなら上に凸」に必ずなります。

つまり、\(a\)の正負によって、グラフの向きが決まっています。

\(a\)の絶対値の大小による違い

イメージを掴むのに\(a \gt 0\)の範囲で、\(a\)の大小でグラフがどう変わるのか考えてみましょう。

\(y=2x^2\)の\(\displaystyle y= \frac{1}{4}x^2\)グラフで考えてみます。

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\(\displaystyle y= \frac{1}{4}x^2\)のグラフ

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この2つの関数の、\(x=2\)のときの\(y\)の値を考えてみます。

• \(y=2x^2 \rightarrow x=2 \text{のとき} y= 8\)
• \(\displaystyle y= \frac{1}{4}x^2 \rightarrow x=2 \text{のとき} y= 1\)

となっており、同じ\(x\)に対しては、\(y=2x^2\)の方が\(y\)の値が大きくなっています。

\(a \gt 0\)のときは、\(x\)が同じであれば、\(x^2\)も同じになるので、\(y=ax^2\)で表される\(y\)の大きさは\(a\)次第ということです。
だから、\(a\)の値が大きい関数の方が、同じ\(x\)の値に対する\(y\)の値は大きくなります。

そして、それをグラフ上で表現すると、\(a\)が大きい関数のグラフが上側にくるということになるのです。

すべての\(x\)において、\(a\)の値が大きいグラフの方が上側に来るので、\(a\)の値の大きいグラフは狭くなるのです。

そのため、\(a\)の絶対値が大きい式の方が、グラフは狭くなるというわけです。

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逆に、\(a<0\)のときは、\(a\)の数字が大きい方が、常に下側に来るので、同じように\(a\)の絶対値が大きい方がグラフは狭くなります。

たとえば、\(y=-x^2\)と\(y=-3x^2\)であれば、\(y=-3x^2\)のグラフの方が狭くなります。

\(a\)の絶対値が同じで符号が逆になっている2つのグラフの関係

もう一度、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフを考えてみます。

\(a\)の符号が正と負にはなっていますが、絶対値（数字の大きさ）が同じです。
つまり、2つのグラフは、開き具合が同じで、原点を頂点として上下逆に開いています。

そのため、2つのグラフは\(x\)軸で折ったり、原点を中心に180°回転させてもぴったり重なります。
\(x\)軸で折ったときにぴったり重なる関係を「\(x\)軸に関して線対称である」と言い、原点を中心に180°回転させてぴったり重なる関係を「原点に関して点対称である」と言います。

ここが落とし穴！グラフ自体の対称性と区別しよう

二次関数の\(y=ax^2\)のグラフは、元々、\(y\)軸に関して線対称という性質を持っています。

また、絶対値が同じで符号が違う2つのグラフは、お互いが\(x\)軸に関して線対称、原点に対して点対称という性質をもっていました。

すべて同じ「対称」なので、なんとなく「線対称」「点対称」のような言葉だけで覚えてしまって混乱しがちなポイントです。

「何の性質なのか」をきちんと理解することと、図のイメージをセットで整理しておくと、テストで出てきても。

\(y=ax^2\)で出てくる「対称」を例題で整理しよう

定期テストで聞かれやすいのは、こんな問題です。

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二次関数\(y=ax^2\)のグラフの特徴と対称性のまとめ

二次関数\(y=ax^2\)のグラフの特徴は、すべて「式の値がどう変化するか」という仕組みから導き出せます。

言葉や公式だけで暗記しようとせず、「点を打っていったらどうなるか」のイメージと結びつけて覚えることが、テストで焦らない一番の近道です。

ここで学んだ軸や頂点、対称性の考え方は、高校数学で習うさらに複雑な二次関数でもそのまま役立つ大切な土台になります。
焦らずゆっくり、グラフをイメージする力を身に付けていきましょう。