二次関数y=ax²の変域｜分数になるとミスが増える理由と対策【中3数学】

「変域が整数のときは解けるのに、分数が出た瞬間に間違える」
そんな経験はありませんか？

二次関数\(y=ax^2\)の変域は、グラフで考えられるようになれば、どんな問題も同じ方法で解けます。
でも、端点が分数になると、とたんに正答率が下がります。

この記事では、基本の解き方からはじめて、変域の問題で端点が分数のときになぜ間違いが増えるのか、どうやって対策したらよいのかまでを、わかりやすく整理します。

この記事では、原点が変域内に含まれる\(y=x^2\)のグラフを扱って考えていきます。

変域の端点が分数になると何が難しくなるの？

端点が分数になると、変域の問題が難しくなる理由は、主にこの3つです。

変域の問題のおさらい

今回はこの4ステップが分数の変域でもそのまま使えることを確認しながら、ミスを減らすコツを紹介します。

実際のグラフで見てみよう

例1：
\(y=x^2\)の\(-1≦x≦2\)における\(y\)の変域

グラフから\(x=0\)のとき最小、\(x=2\)のときが最大とわかります。
それぞれ式に代入すると

• \(x=0\)のとき\(y=(0)^2=0\)
• \(x=2\)のとき\(y=(2)^2=4\)

よって変域は、\(0≦y≦4\)となります。

例2：
\(y=x^2\)の\(-2≦x≦1\)における\(y\)の変域

グラフから\(x=0\)のとき最小、\(x=-2\)のときが最大とわかります。
それぞれ式に代入すると

• \(x=0\)のとき\(y=0\)
• \(x=-2\)のとき\(y=(-2)^2=4\)

よって変域は、\(0≦y≦4\)となります。

どちらも同じ答えになりますが、最大値をとるときの\(x\)が例1では変域の右端、例2では変域の左端と違っています。

次は、どうしてこういう違いが出るのかを見ていきましょう。

二次関数\(y=x^2\)で最大・最小をとる\(x\)の決まり方

どちらの端点で最大になるかは、\(y\)軸からそれぞれの端点までの距離で決まっています。

\(y=x^2\)のグラフは、頂点（原点）から離れるほど\(y\)の値が大きくなります。
また、グラフは\(y\)軸に対して左右対称なので、軸からの距離が同じ点では、\(y\)の値も等しくなります。

そのため、変域の両端点のうち軸から遠い方が、軸から近い方よりも\(y\)の値が大きく、そこで最大値をとるのです。

実は、このことを理解することが、分数の変域でミスを減らすための第一歩です。
それでは、これを踏まえた上で、「分数が端点の問題ではなぜ正答率が下がるのか」を見ていきましょう。

端点の大小関係が見えづらくなる

整数なら「\(x=2\)は\(y\)軸から\(2\)離れている」とすぐにわかります。

でも、\(\displaystyle \frac{5}{2}\)と\(\displaystyle \frac{7}{4}\)のどちらが大きいか、整数ほどもすぐには判断できないと思います。
分数になると、数の大きさを直感的につかみにくくなってしまいます。

分数を正確に比べるときは、通分して比べることが必要になりますが、ここを「なんとなく」で済ませてしまうと、とたんにミスが増えてしまいます。

代入計算が複雑になる

\(y\)軸からの距離を比べた後、今度は端点の\(x\)の値を代入して\(y\)の値を計算しないといけません。
分数の2乗も、不慣れなうちは計算ミスをしがちな部分です。

ミスを減らす対策はどうしたらいいの？

対策は簡単で、何が難しいかを理解して、気をつけて計算することです。
「気をつけて計算しているよ」という人でも、実は注意する場所がずれていることがよくあります。

「分数だから気をつけよう」と思うだけでは、実は十分ではありません。

自転車で細い道を走るとき、「細いから気をつける」より「あの曲がり角は見通しが悪いから、そこでいったん止まる」の方が安全ですよね。
具体的にどこが危ないかがわかっていると、対策もピンポイントにできます。

数学のミスも同じです。
どこで間違えやすいかを具体的に知っておくことが、一番の対策になります。

今回の問題に限って言えば、ネックになるのが、次の2点です。

• 4ステップの②「変域を描きいれるとき」にy軸からの距離を正しく比べる部分
• 4ステップの④「グラフから最大になる\(x\)を読み取ったあと」、式に\(x\)を代入する部分

ここさえ丁寧にやれば、ミスは大きく減ります。

「分数だから注意」ではなく、

• ②で\(y\)軸からの距離を比べるところを丁寧にやる
• ④で\(y\)軸からの距離を比べるところを丁寧にやる

と決めておきましょう。

例題で、どこに注意したらいいかを見てみよう

\(y=x^2\)の、\(\displaystyle -\frac{5}{2}≦x≦\frac{7}{4}\)での\(y\)の変域を考えてみます。

ステップ①：ここは整数と変わらず
グラフ全体を点線で描く（全体像を把握するため）

ステップ②：ここが一番注意
\(x\)の範囲をグラフ上にとる

このときに、\(x\)の大小関係を間違えると詰みます。
必ず通分をして比べてください。

• \(\displaystyle -\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}\)
• \(\displaystyle \frac{10}{3}=\frac{10}{3}\)

なので、必ず\(\displaystyle -\frac{2}{5}\)を\(y\)軸から遠いところにとってください。

実際に問題を解くときはフリーハンドでグラフを描くことになります。
どちらが遠いかを意識して描いてください。

ステップ③：ここは整数と変わらず
その範囲の部分だけ太くする

ステップ④：ここも注意
その部分の「一番上と下」になるときの\(x\)の値を読む

\(x\)の読み取りはいつも通りでいいですが、代入して\(y\)の値を計算するときに注意が必要です。

グラフから、\(x=0\)のときが最小、\(\displaystyle x= -\frac{2}{5}\)のとき最大とわかる。

• \(x=0\)のとき\(y=0\)
• \(x=-2\)のとき\(\displaystyle y=(-\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)

よって、\(y\)の変域は

\(\displaystyle 0≦y≦\frac{4}{25}\)

おわりに

分数でミスが増えるのは、能力の問題ではありません。

「何となく分数は気をつけよう」という意識は持っていても、どこでミスが起きやすいかが見えていないと、注意が分散してしまいます。

今回の変域の問題でいえば、気をつけるべき場所は「端点の\(y\)軸からの距離の大小」と「代入してからの計算」という二点でした。

そして、ミスを減らすためにミスの見える化が大事なことは、変域に限らず、すべての単元で共通することです。

ミスを減らす第一歩は、どこでミスが起きるかを見えるようにすること

この考え方を持っておくと、他の問題でも、自分でどこに注意すべきかを見つけられるようにな、正答率もかなり安定してきます。

がんばってください。

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