二次関数、ポイントは式への代入！x,yの計算と式の決定【中3数学】

「式はわかったけど、代入計算でなぜかミスをする…」

「$-3^2$ と $(-3)^2$、どっちがどっちだっけ？」

そんな悩み、ありませんか？

二次関数は「2乗」が入るだけで、計算の落とし穴が一気に増えます。

この記事では、テストで狙われる「計算ミスの原因」をスッキリ整理。
ミスをゼロにする途中式の書き方から、実は一次関数より簡単な「式の求め方」まで、ポイントを絞って解説します。

この記事を読み終える頃には、自信を持って計算問題に取り組めるようになっているはずです！

二次関数の式で、\(x,y\)はどうやって計算したらいい？

二次関数に限らず、\(x,y\)を求めたいときは、関数の式に\(x,y\)の値のうちわかっている方を代入すると求められます。

ここからは、\(y=3x^2\)を例にして、二次関数の場合の代入の仕方や注意点を見ていきます。

\(x\)の計算を具体例で見てみよう

二次関数\(y=3x^2\)で、\(x=2\)のときの\(y\)の値は

\(y=3\times(2)^2 \\y=3 \times 4 \\ y = 12\)

と計算できます。

また、\(x=-3\)のときの\(y\)の値は

\(y=3\times(-3)^2 \\y=3 \times 9 \\ y = 27\)

と計算することができます。

\(y\)の計算を具体例で見てみよう

二次関数\(y=3x^2\)で、\(y=27\)のときの\(y\)の値は

\(27=3x^2 \\x^2=9 \\ x = \pm 3\)

と計算することができます。

これまでの関数では、「\(x\)を決めれば\(y\)が1つに決まる」だけでなく、
「\(y\)を決めても\(x\)が1つに決まる」のが普通でした。
しかし、二次関数は違います。「1つの\(y\)に対して、2つの\(x\)が対応する」 のです。

ここを押さえておくと、グラフの学習をしたときにイメージしやすくなるので、
一つポイントとして意識しておいてください。

よくある計算ミスとその対策

この範囲では、2乗の計算ミスが多いです。

• 指数の計算順序を間違える
• \(x\)の値を2乗するのを忘れる、または2倍してしまう
• 負の数の2乗で符号を間違える

計算ミスをなくすためには、
普段の練習で、途中計算を書いて練習していくのが一番です。

それぞれのミスについて見ていくので、当てはまるものがあったら、気を付けて練習するようにしてください。

指数の計算順序を間違える

指数がある場合は、まず指数から処理するのが鉄則です。
たとえば、\(y=3 \times 2^2\)であれば、

\(y=3 \times 2^2 \\ y=3 \times 4\)

と計算するか

\(y=3 \times 2^2 \\ y= 3 \times (2 \times 2)\)

のように、指数をかけ算の形に直してしまうかのどちらかが、正しい計算方法です。
しかし、この計算で、

\(y= 3\times 2^2\) \\ y =6^2\)

のように、先に3×2を計算してしまう人をときどき見かけます。
これは間違った計算方法です。

計算練習を始める前に、まず「指数を先に計算」ということを意識してから、練習に取り組むようにするとよいです。

\(x\)の値を2乗するのを忘れる、または2倍してしまう

これもありがちなミスです。
たとえば、\(y=3 \times 4^2\)であれば、

\(y=3 \times 4^2 \\ y = 3 \times 16\)

と計算するところを

• 2乗忘れ
  \(y=3 \times 4^2 \\ y = 3 \times 4\)
• 2倍してしまう
  \(y=3 \times 4^2 \\ y = 3 \times 8\)

のように計算してしまうようなミスです。

この手のミスをしがちな方は、計算内容がわかるように、
2乗の部分をかけ算の形に直した形を途中式で書いて練習するといいです。

\(y=3\times 4^2 \)
\(y=3 \times (4\times 4)\)
\\ y = 48\)

負の数の2乗で符号を間違える

これが一番多いミスじゃないかなと思います。
2乗しても負の数のままにしてしまうミスです。

負の数の2乗で符号を間違える方は、
代入するときにカッコをつけるといいです。

\(y=3\times(-3)^2 \)
\(y=3 \times (-3) \times (-3\) \)
\(y=3 \times 9\)
\(y = 27\)

ミスをなくすためには、
何が原因でミスをするのかを理解して、
ミスが見えやすい形にすることが第一歩です。
なぜ間違いが起こるのか、考える習慣をつけましょう。

二次関数の式はどうやったら求められる？

二次関数の式の求め方を具体例で見てみよう

どんな関数でも、関数の式は次の手順で求められます。

1. 関数の式を一般形でおく
2. 与えられた\(x,y\)を代入して方程式を解く
3. 求めた文字を、元の式に代入する

中学校範囲で学習する二次関数（\(y\)が\(x\)の2乗に比例する）の一般形は\(y=ax^2\)なので、
\(y=ax^2\)とおいて、条件から\(a\)を求めれば、二次関数の式を求めることができるのです。

たとえば、\(y\)は\(x\)の2乗に比例して、\(x=2,y=1\)のときの関数の式は次のように求められます。

• \(y=ax^2\)…①とおくと
• \(x=2,y=1\)を①に代入して
  \(1=4a \\ \displaystyle a= \frac{1}{4}\)
• 求めた\(a\)の値を、①に代入すると
  \(\displaystyle y = \frac{1}{4}x^2\)

よって、二次関数の式は\(\displaystyle y = \frac{1}{4}x^2\)と求められます。

式の求め方に関していえば、二次関数より一次関数の方がパターンが多く（（\(a,b\)の2種類文字をおいているから）難しいです。
一次関数で苦手意識がある方もいるかもしれませんが、構えなくても大丈夫です。

おわりに

お疲れ様でした！
二次関数の「代入」と「式の決定」、コツは掴めたでしょうか？

今回のポイントを復習しましょう。

• 2乗は掛け算よりも先に計算する
• 負の数を代入するときはカッコを忘れずに！
• \(y\)から\(x\)を出すときは\(\pm\)のセットを意識する！

二次関数の計算は、慣れてしまえば一次関数よりもパターンが少なく、得点源にしやすい単元です。
「ミスしやすい場所」が自分でわかっていれば、もうテストは怖くありません。

がんばってください。

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