二次関数のグラフがわかる！放物線の特徴と「凸」の見分け方を解説【中3数学】

「一次関数のグラフはまっすぐな直線だったけど、二次関数になるとどうなるの？」
そんな疑問を持っていませんか？

二次関数のグラフは、噴水のような不思議なカーブを描きます。
この記事では、実際に計算して点を打ちながら、グラフの正体である「放物線」の特徴を一つずつ紐解いていきます。
これを読み終える頃には、グラフの形が頭にパッと浮かぶようになりますよ！

二次関数のグラフってどんなグラフ？

そもそもグラフって何？

グラフとは、式のルール（関数）に当てはまる\(x\)と\(y\)のペアを、無数に打ってできた「点の集合」です。
そのため、関数のグラフ上の点は、全て関数の式を満たします。

たとえば、二次関数

\(y=x^2\)

を考えます。

\(x=1,y=1\)の組み合わせは、この関数の式に当てはまります。
そのため、\(y=x^2\)のグラフは、点\((1,1)\)を通るように描きます。

このように、式に当てはまる\(x,y\)の組み合わせを無数に打っていくとグラフになるのです。

それでは、ここから実際に\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)で、グラフの形を考えてみましょう。

\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフで考えてみよう

\(y=x^2\)のグラフ

まず、\(y=x^2\)に、\(x=0, \pm 0.5,\pm1,\pm2,\pm3\)を代入して表をつくります。

ここで、注目してほしいことが2つあります。

• \(x\)が\(0→0.5\)のときよりも、\(2→3\)のように、\(x\)の値が大きくなるほど、\(y\)の増え方が大きくなる
• \(x=1,-1\)のときの\(y=1\)、\(x=2,-2\)のときの\(y=4\)のように、\(x\)の値の、数字が同じで符号が違うもの同士の対応する\(y\)の値は等しい

これらを踏まえた上で、点をグラフ用紙にとって、グラフを描いて見ていきたいと思います。

まず、表で計算した点をとると次のようになります。

もちろん、この表で計算した値以外にも、\(y=x^2\)を満たす\(x,y\)は存在します。
そのため、今とった点の間には、次の図のように無数の点があります。

これらを線でつないでできるのが、二次関数のグラフです。

先ほど見た通り、\(x\)の値が小さいときは\(y\)の変化幅が小さいですが、\(x\)の値が大きくなるにつれ、\(y\)の変化幅が大きくなっていることがわかります。
また、原点付近での\(x\)の変化幅はほとんどなく、原点を境に\(y\)の値が減少から増加に転じています。
このような、二次関数の減少から増加（または増加から減少）に転じる点を、頂点と呼びます。
\(y=ax^2\)のグラフでは、原点が頂点になります。

また、\(x= \pm1,\pm2,\pm3\)のときの\y\)の値が同じで、それぞれ\(y\)軸で折り返したときにぴったりと重なることがわかります。

これは、グラフ上の原点以外の点について言えることです。
そのため、二次関数のグラフは\(y\)軸で折ったときにぴったり重なる、つまり\(y\)軸に関して線対称な図形になっているのです。

また、完成したグラフはグラフは下側に出っ張って、上側に開いた形になります。
このような形を「下に凸」と呼びます。

\(y=ax^2\)のグラフで、\(a＞0\)のときは、同様にグラフは「下に凸」になります。

グラフが\(x\)軸より上にあるので、うっかりこれを「上に凸」と間違える人がときどきいます。
「凸」は出っ張るという意味なので、「どっちに向かって出っ張っているか」で考えてくださいね。

\(y=-x^2\)のグラフ

\(y=-x^2\)のグラフも同様に考えます。

これも、同じようにしてグラフを描くことができ、次のようなグラフになります。

\(y=-x^2\)のグラフも同様に、\(y\)軸に関して線対称です。

そして、完成したグラフは、上側に出っ張って、下側に開いた形になります。
このような形を「上に凸」と呼びます。

\(y=ax^2\)のグラフで、\(a＜0\)のときは、同様にグラフは「上に凸」になります。

「下に凸」と「上に凸」で迷ったら、「出っ張っている（尖っている）方がどっちを向いているか」だけを見てください。
\(x\)軸より上か下かは関係ありません。

また、二次関数のグラフは、物を投げたときと同じ軌道になっています。
そのため、二次関数のグラフのことを「放物線」とも呼びます。

物を投げたときの軌道は、\(a\)が負のときのグラフの形をしています。
ただ、だからと言って\(a\)が負のときのグラフを放物線と呼ぶのではなく、\(a\)が正のときも含めて、二次関数のグラフ全てをまとめて放物線と呼びます。

おわりに

お疲れさまでした。
二次関数のグラフは、いかがでしたか？

「グラフ」と聞くと苦手意識を出す人も多いですが、実はたった一つの式を満たす「点の集まり」に過ぎません。
そして、それは二次関数のグラフでも同じことです。

二次関数のグラフは、一次関数のように直線ではないため、最初は少し戸惑うと思います。
大事なのは

• \(x\)が小さいときは微増、微減、\(x\)が大きくなるにつれて変化幅が大きくなる
• \(y\)軸に関して左右対称
• 原点（頂点）で増加、減少が入れ替わる

という特徴を捉えられるかどうかです。
この点を意識しながら、少しずつ慣れていけば、必ず読めるようになります。

がんばってください。

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