実は、数学が得意な人と苦手な人の違いは、計算力ではありません。
「考え始める順番」が違うだけなのです。

数学には、答えを出すための「思考のルート」があります。
この記事では、応用問題を解くために必須となる「逆算の考え方」について紹介します。

逆算の考え方ってどうやったらいいの？

数学の問題を考えるときは、「求めたいもの」から逆算して考えていくのが基本です。
具体的には、次の順に思考、情報を整理します。

なぜ「求めたいもの」⇒「条件」の順に考えるのか？

数学の問題では、問題文に条件が書いてあるので、「どの条件を使うか」とい発想をする人が多いと思います。

しかし、条件はたくさんあることが普通で、使う順序も違います。
だから、公式を一度使うだけの簡単な問題なら条件から考えてもいいのですが、難易度が上がると何をどこから使えばいいのか混乱してしまうのです。

一方、求めたいものは1つしかありません。
（複数の答えを求める問題でも、1つずつに分けて考えればいいだけなので）
また、求めるための方法も決まっています。
そのため、求めたいものをスタートにして考えると、何をどの順序で考えればいいのかが整理しやすくなるのです。

例題で逆算の考え方を確認しよう

【解説】

三角形の面積の公式に当てはめて

2 × 4 ÷ 2 = 4

解説の必要もないような例題ですね。
このような公式を一度使うだけの問題では、逆算する必要はありません。

例題2（逆算した方がわかりやすい問題）

下図の△OAPの面積を求めなさい。

【解説】

このような問題になると、「どうやって考えたらいいの？」と思う人が増えると思います。
ここでこそ、逆算の考え方が役立ちます。
求めたいものから、何が必要かを考えていきます。

1. 求めたいものが何かを考える
   今回、求めたいものは「三角形の面積」
2. 求めたいものを計算するための公式、必要な情報を考える
   面積の公式は（底辺）×（高さ）÷ 2
   なので、底辺、高さが必要
   ⇒底辺をOA、高さをAPとみる
3. 条件から必要な情報を読み取る
   • 底辺OAは\(x\)座標から2とわかる
   • 高さAPは点Pの\(y\)座標
     ⇒\(y=2x\)に\(x\)=2を代入して\(y\)座標を求める

これをもとに解答をつくると、次のようになります。

点Aの座標が(2, 0)なので
OA = 2

点Pの座標は、\(y=2x\)に\(x=2\)を代入して
点P(2, 4)
よって、AP = 4

求める面積は
（底辺）×（高さ）÷ 2
= 2 × 4 ÷ 2
= 4

「思考の順序」と「解答の順序」は別物

例題2の「思考の順序」と「解答の順序」を比べてみてください。
2つの順序が一致していないことがわかると思います。
実は、「思考の順序」と「解答の順序」は一致しないことが多いです。

• 考えるとき
  ⇒「求めたいもの」から逆にたどる
• 書く（説明する）とき
  ⇒「与えられた条件」から順に進める

という違いがあるからです。
この違いがあるので、「解説は理解できるけど、問題が解けない」ということが起こってくるのです。

さきほどの例題2であれば、逆算する人と、しない人で解説の読み方は次のように違います。

逆算しない人

まず、OAを求めて、次にAPを求めて、公式を使うのか！

逆算する人

面積を求めるためには、底辺と高さが必要…
だから、OAとAPを求めているんだ！

逆算することのもう1つの利点

逆算の考え方をすることには、思考を整理しやすくする以外にもう1つ利点があります。
それは、他の問題への応用が利きやすいということです。

もう1度、先ほどの例題2を思い出してください。

逆算して考える人だと、「面積を求める」という目的が同じであれば、条件が違う他の問題にも考え方を応用していくことができます。

しかし、逆算しない人のように「条件」から考え始めていると、条件が変わってしまえば途端に応用しにくい知識に変わってしまいます。
そうすると、「問題の数だけ解き方を覚える」ということになってしまいます。

高校受験ぐらいのレベルであれば、記憶力次第でそれでも何とか通用します。
しかし、大学受験のレベルになると、それで問題を解決できる人はほとんどいないと思います。

「中学校まではできたけど、高校になると授業についていけなくなる」というのは本当によくあります。
ぼくの知っている範囲では、高校受験をパターン暗記に頼り切りって、そこで止まってしまった人が多いです。
パターン暗記は、「合格」という目標に対してはわりと最短ルートなんですが、その先の応用まで見据えると、かなりの遠回りになってしまいます。

逆算の考え方を身につけるための習慣

いきなり、逆算の考え方を身に付けるのは難しいと思いますが、すぐにできる習慣が1つあります。
それは、わからない問題があったときに、「どうやって考えればいいのか？」ではなく、「どこから考え始めればいいのか？」という視点で解説を見るようにすることです。

考え始めが正しければ、後は順に論理を展開していけば、方針が何となく見えてきます。
一番大切なのが、最初の考え始めの部分なのです。

それを繰り返していけば、少しずつ“逆算思考”の感覚が身についていきます。

おわりに

数学の勉強は、ついつい「答えを出すこと」ばかりに目が向きがちです。
しかし、本当に大切なのは、答えに至るまでの「道筋をどうやって見つけたか」という部分にあります。

もし、テストや自習で解けない問題に出会ったら、ガッカリする必要はありません。
それは新しい「考え始めのポイント」を学ぶチャンスです。

今回紹介した「逆算思考」を意識して、解説を「答え合わせ」ではなく「思考の答え合わせ」として使ってみてください。
そうすれば、条件から正答までの道筋が、あなたの頭の中に描けるようになっていきますよ。

← 一つ前のページに戻る

中2数学で学ぶ変化の割合は、計算手順が多く、「どこから手をつけたらいいのか」迷いやすい単元です。

この記事では、変化の割合を「逆算思考」で整理する方法を紹介します。
求めたいものを出発点にして考えることで、計算の順序がわかりやすくなり、定期テストや高校入試でも迷わず手を動かせるようになります。

例題を使って、思考の流れを一緒に確認していきましょう。

【中2数学】もう間違えない！一次関数の変化の割合、表でわかる増加量の正しい計算手順

【変化の割合の計算の工夫】中2数学の一次関数で変化の割合をマスター！表を使って「変化後－変化前」を整理すれば、増加量の計算ミスが激減します。定期テスト対策に必須の計算ロジックを例題付きで解説。

wadknoroom.com

2025.10.03

【高校受験・数学】もう迷わない、変化の割合！基礎～応用まとめ

変化の割合は、一次関数の単元で学習しますが、一次関数だけの考え方ではありません。この記事では、受験生向けに、変化の割合について、基本から一次関数以外への応用について、やさしく解説しています。

wadknoroom.com

2025.10.22

変化の割合の問題はどこから考え始めればいい？

変化の割合は、「求め方」から逆算していく

変化の割合を考えるときは、次の順の思考を踏むとうまくいくことが多いです。

変化の割合の計算での逆算の考え方を詳しく解説

逆算の考え方って何？

逆算の考え方とは、条件からではなく、求めたいものをスタートにして条件にさかのぼっていく考え方のことです。

公式を1回使えば答えが出るような基本問題では、条件から読んでも特に問題はありません。
しかし、条件や、計算過程が増えると、何をどこから使っていいかが整理できなくなってしまいます。
こういうときに効くのが、”逆算の考え方”です。
「求めたいもの」を出発点にして方針を考えると、条件から考えるよりも、思考の整理がスムーズにできます。

逆算の考え方の基本については、こちらの記事で解説しています。
理解を深めたい方はぜひお読みください。
👉解説はわかるのに解けない？数学で大切な逆算の考え方

具体的に、変化の割合の計算ではどうやって使ったらいい？

まず、変化の割合の計算手順を思い出してください。
すると、\(x\)、\(y\)の増加量がわからないと、計算できないとわかります。

さらに、\(x\)、\(y\)の増加量を計算するためには、それぞれの点の\(x\)座標、\(y\)座標が必要なことがわかります。

\(x\)座標、\(y\)座標を求めるためには、関数の式と、\(x\)座標または\(y\)座標が必要です。

ここまで思考が整理できたら、そこで改めて問題文の条件を見ると、解答の方針が見えてくると思います。

変化の割合の計算方法や、関数の式から\(x,y\)を計算する方法に自信のない方は、こちらの記事をお読みください。

• 変化の割合の意味、計算方法
  👉変化の割合とは？公式の意味を例題付きでくわしく解説
• 関数の式から座標を求める方法
  👉関数の基本操作！関数の式から座標を求める方法

逆算思考での変化の割合の考え方を例題で見てみよう

【解説】

変化の割合をスタートにして考えると

1. （変化の割合）=（\(x\)の増加量）÷（\(y\)の増加量\)
2. \(x\)、\(y\)の増加量が必要
3. \(x\)座標、\(y\)座標が必要
   ⇒条件から関数の式と\(x\)座標はわかる
   ⇒\(y\)座標を計算

これを逆にたどっていくと

1. \(x=-1\)のとき\(y=-5\)
   \(x=4\)のとき\(y=5\)
2. \((xの増加量)=4-(-1)=5\)
   \((yの増加量)=5-(-5)=10\)
3. （変化の割合）=10 ÷ 5 = 2

と計算できます。

例題2は中3の内容も混じっているので、未習の人は飛ばしてもらって大丈夫です。

直接、「変化の割合を求めなさい」と問われているわけではないですが、これも変化の割合をスタートにすると考えやすくなります。

1. （変化の割合）=（\(x\)の増加量）÷（\(y\)の増加量\)
2. \(x\)、\(y\)の増加量が必要
3. \(x\)座標、\(y\)座標が必要
   ⇒条件から関数の式と\(x\)座標はわかる
   ⇒\(y\)座標を計算

これを逆にたどっていくと

1. \(x=-2\)のとき\(y=4a\)
   \(x=1\)のとき\(y=a\)
2. \((xの増加量)=1-(-2)=3\)
   \((yの増加量)=a-4a=-3a\)
3. \(（変化の割合）=-3a \div 3 =-a \)

条件から、変化の割合は3なので

\(-a=3\)
\(a=-3\)

話が逸れるので省略しましたが、増加量の整理にとまどうときは表を使った整理方法が効果的です。
詳しい方法については、こちらのお読みください。
👉一次関数、変化の割合の計算！表を使った計算の工夫

おわりに

この記事では、変化の割合の問題を考え方の順序に焦点を合わせて整理しました。

教科書にも出てくる基本問題なので、結構スルーされがちですが、複雑な問題を順序だてて考える練習をするのに、ちょうどいい問題だと個人的には思っています。

どこから考え始めたか、どういうプロセスを踏んだかをしっかり理解して取り組むと、間違いなく自分の力になる問題です。

がんばってください。

← 一つ前のページに戻る

中学生の数学でつまずきやすいこの分野は、これから学ぶ**「関数」や「図形」の問題を解くための非常に重要な土台となります。特に、このブログのテーマである関数**をマスターするには、連立方程式を解く力が不可欠です。

この記事では、連立方程式の基本的な考え方から、加減法と代入法の2つの解き方を、具体例を通して徹底解説します。さらに、計算ミスを防ぐための注意点や、代入法を苦手にしないための最大のコツまで伝授します。

「連立方程式は苦手だ…」と感じているあなたも大丈夫です。この記事を読んで、どんな問題にも自信を持って取り組めるスキルを一緒に身につけていきましょう！

連立方程式って何？

中学校では、「文字が2種類ある式が2本」の連立方程式の解き方について学びます。
ここからは、それに準じて説明していきます。

具体例でイメージをつかもう

次のような2式を考えてみます。

\(x+y=2\)…①
\(x-y=0\)…②

たとえば、①の式 \(x+y=2\)を満たす\(x,y\)の組は、
\((0,2),(1,1),(2,0),(3,-1)…\)のように無数に存在します。

同じように、②の式\(x-y=0\)を満たすす\(x,y\)の組も、
\((0,0),(1,1),(2,2),(3,3)…\) のように無数に存在します。

これらの無数にある解の中で、\((x,y)=(1,1)\)のように、両方の式に共通する解が存在します。

このような、複数の式に共通する解を求めたいときに、用いるのが連立方程式なのです。

なぜ解法が必要なの？

先ほどの例のように、書き出してすぐ見つかることはほとんどありません。

実際には、式が複雑だったり、解が分数や大きな数字になったりして、「適当に考えて」答えを見つけるのは非常に困難です。

そのため、どんな連立方程式でも、確実に、素早く解を導き出せるように、加減法と代入法という2つの解き方について学びます。

次の章では、これらの方法を説明していきます。
しっかりマスターし、どんな連立方程式も解けるスキルを身につけていきましょう！

加減法ってどういう解き方？

加減法では、次の手順で計算します。

連立方程式の加減法を具体例で確認

次のような連立方程式を例に考えてみましょう。

\(2a+3b=5\)…①
\(3a-2b=1\)…②

どちらかの文字の係数をそろえる

今回は、\(a\)の係数（2と3)を、最小公倍数の6にそろえることにします。

「両辺に同じ数をかけても等号は成立する」
という等式の性質を利用して、
式①の両辺に3、式②の両辺に2をかけると、
式は次のように変形できます。

\(6a+9b=15\)…①’
\(6a-4b=2\)…②’

これで、\(a\)の係数がそろいました。

ひっ算でそろえた文字を消す

\(a\)の係数がそろったら、①’から②’を引き算し、\(a\)を消去します。

\(a\)の項、\(b\)の項、定数項同士、それぞれで引き算しています。

【ポイント】
消したい文字が同符号のときは引き算（今回）、
異符号のときは足し算をします。

これを計算すると、

\(13b = 13\\ b = 1\)

と\(b\)を求めることができました。

求めた値を代入して、最初に消去した文字の値を求める

求めた\(b=1\)を、元の式①または②のシンプルな方に代入して、\(a\)の値を求めます。
（今回は①に代入します）

\(2a+3b=5 \\ 2a+3 \times(1)=5 \\ 2a+3=5 \\ 2a=2 \\ a=1\)

これで\(a=1,b=1\)と答えを求めることができました。

連立方程式の加減法で気を付けるべきミス

ぼくの経験上ですが、ミスのほとんどはこの2つです。

文章題などを解いていて、分数になるはずのないところで分数が答えになったときは、
真っ先にこの2つを確認するとよいです。

特に符号ミスは、係数がマイナスの項（例\(-4b\)）を引き算するときに起こしやすいので、
注意して計算してください。

代入法ってどういう解き方？

代入法では、次の手順で計算します。

連立方程式の代入法を具体例で確認

次のような連立方程式を例に考えてみましょう。

\(2x-2y=1\)…①
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+y=2\)…②

どちらかの式を「(文字)=○」の形に変形する

式②の\(y\)の係数が1であるため、②を「\(y=◯\)」に変形します。

\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+y=2\)
\(\displaystyle y =\frac{1}{2}x+2\)…②’

変形した式を、もう一方の式に代入して計算する

変形した式をもう一方の式に代入します。
（今回は②’を①に代入）
①式の\(y\)の部分を、②式の右辺と入れ替えたと考えるとわかりやすいと思います。

\(\displaystyle 2x-2(\frac{1}{2}x+2)=1 \\ 2x-x-4 = 1 \\ x = 5\)

求めた値を代入して、もう一方の文字の値を求める

求めた値を方程式に代入して、もう一方の文字の値を求めます。
代入法の場合は、変形した式に代入すると、移項などの手間がなく計算することができます。

②’の式に、求めた\(x\)の値を代入すると

\(\displaystyle y =\frac{1}{2}x+2 \\ \displaystyle y = \frac{1}{2} \times(5) +2 \\ \displaystyle y = \frac{5}{2} +2 \\ \displaystyle y = \frac{9}{2} \)

連立方程式の代入法で気を付けるべきミス

加減法ほどではないですが、代入法でもミスしやすい部分はあります。

これらは、「数と式」や「一次方程式」の単元でも間違えやすい計算です。
しっかり計算できるようになっておくと、他の単元でのミスも減るので、気をつけて計算してください。

代入法をマスターする最大のコツ：式を「ひとかたまり」で見る

代入法を考えるコツは、「(文字)=○」の式の右辺をひとかたまりと見ることです。

たとえば、\(y=2x-1\)という式があるとき、\(y\)と\(2x-1\)を完全に等しい「ブロック」だと見なす意識が大切です。

代入法は、このブロックを組み替えていると思ってください。

加減法と代入法、加減法に頼りすぎることの危険性について

中学生の連立方程式では、加減法だけでなく代入法もしっかり身につけておくべきです。

ただ、代入法を苦手に感じる生徒はとても多いです。
だいたいが、次のような理由があります。

• 授業では加減法を先に習う
  ⇒「連立方程式＝加減法で解くもの」という意識が強くなりがち
• 加減法だけでもすべての連立方程式は解ける
  ⇒「代入法は別に使えなくてもいいのでは？」と思ってしまいがち
• 代入法は「式をひとかたまりとして扱う」感覚が必要
  ⇒の感覚がないと、どうしても理解しづらくなる

とはいえ、代入法は学習しておいた方が確実にメリットがあります。

• 問題によっては代入法の方が圧倒的に簡単に解ける
  ⇒特にどちらかの式が「\(x=〜\)」や「\(y=～\)」の形に近い場合など
• 数学の学習が進むにつれて、式をひとかたまりとして見る場面はどんどん増える
  ⇒代入法はそのための大事なトレーニング

単に「2つの解き方を覚える」というだけでなく、今後の数学の土台をつくるつもりで、代入法にもぜひ取り組んでみてください。

おわりに

お疲れ様でした！連立方程式の加減法と代入法について、マスターするための手順とコツを学ぶことができました。

連立方程式の解法とは、複雑な「文字が2つある式」を「文字が1つだけの式」に変形する、
「問題をシンプルにするツール」です。

• 加減法：係数を揃えて、文字を消去する。
• 代入法：「ひとかたまり」で見て、文字を置き換えて消去する。

特に、代入法で身につけた「式をひとかたまりで見る」感覚は、今後の関数（グラフの交点など）を解く上で非常に重要です。

加減法だけでなく代入法にも積極的に取り組み、あなたの数学の土台を強固なものにしていきましょう！

← 一つ前のページに戻る

【関連記事】

• 連立方程式の加減法の演習をしたい方はこちら
  連立方程式の加減法の演習記事です。
  係数がそろっている問題から、分数の問題まで、レベル別に問題を配置しました。
  計算の注意点や、検算の方法、どの文字の係数をそろえるかの計算の工夫まで、網羅的に取り扱っています。
  演習をして、ぜひ加減法をマスターしてください。
  👉連立方程式の加減法をマスター！レベル別演習
• 一次関数の式の求め方について学びたい方はこちら
  一次関数の式の求め方についての解説記事です。
  一次関数の式を求める問題で、一番よく出るパターン「通る2点を与えられる問題」では、連立方程式の加減法を使って計算をします。
  今回学んだ加減法が、どういう使われ方をするのか、ぜひチェックしてみてください。
  👉一次関数の式の求め方！基本の3パターンを例題で整理

一次関数は、連立方程式よりも後の学習範囲です。
未習の方は、学習範囲が追い付いたらまた読んでみてください。

「符号ミスでいつも答えが合わない…」「係数を揃えるのが面倒…」と苦手意識を持っている人もいるかもしれません。

この記事では、連立方程式の加減法を「手順」「注意点」「工夫」の3つの視点から徹底解説します。
さらに、レベル別の豊富な演習問題を通じて、あなたの習熟度に合わせて確実にスキルアップできるよう構成しました。

単に解き方を覚えるだけでなく、「どうすればミスなく、素早く解けるか」を自分で試行錯誤するヒントも紹介します。

この記事を最後まで読み終えるころには、連立方程式の加減法を自在に使いこなし、自信を持ってテストに臨めるようになっているはずです。

連立方程式の加減法の手順と注意点（前提知識）

連立方程式の加減法は、次の順で考えます。

最初に係数をそろえるとき、どちらの文字をそろえてもいいです。

ただ、計算を工夫する余地はたくさんあります。
たとえば、次のような工夫が考えられます。

• できるだけ数字が大きくならないようにすると、スムーズに計算しやすいです。
• 足し算が計算しやすい
  ⇒異符号の文字を消去する
  引き算が計算しやすい
  ⇒同符号の文字を消去する
• 先頭の項の消去があまり好きではない
  ⇒2番目の項から消去する

どれも厳密なルールではないので、
自分なりに計算しやすい方法を見つけてください。

あえて、「これがおすすめ」みたいなことは言いません。
こういうところで、ちゃんと試行錯誤をすることが、勉強を意義のあるものにしてくれますよ。

加減法で起こしやすいミス

加減法のミスのほとんどは、この2つのどちらかです。
計算するときは、必ず注意して計算するようにしましょう。

連立方程式の加減法を例題で理解

【解説】

• \(b\)から消去する
  ⇒\(b\)の係数をそろえる
  ⇒式①の両辺に2、式②の両辺に3をかける
• 係数が異符号
  ⇒2式を足し算する

\(4a+6b=-2\)…①’（①×2）
\(9a-6b=15\)…②’（②×3)

①’＋②’のひっ算をすると

\(13a=13 \\ a = 1\)

①に\(a\)の値を代入して
\(2+3b=-1 \\ 3b=-3 \\ b = -1\)

ぼく個人で言えば、後ろを消去する方が慣れているので、
特に大きな違いがなければ、第2項から消去しています。

連立方程式の検算（代入法の演習記事でも同じことを書いています）

連立方程式では、最後に代入した式と違う方の式に（例題では式②）に代入すると、答えが正しいかどうかを確認できます。
代入しても等式が成立すれば、それが正しい答えであるとわかります。

実際に、例題で\(a=1,b=-1\)を式②に代入すると
\(2 \times 1 -3 \times(-1) =5\)

となり式②が成り立つので、
\(a=1,b=-1\)が正しい答えであると確認できます。

レベル別の演習問題で加減法をマスター！

足し算、引き算のひっ算に慣れよう

解説

• \(x\)の係数の数字がそろっている
  ⇒\(x\)から消去する
• 係数が異符号
  ⇒2式を足し算する

①＋②のひっ算をすると

\(4y=8 \\ y=2\)

①に\(y\)の値を代入して
\(-2x+2=6 \\ -2x=4 \\ x=-2\)

よって\(x=-2,y=2\)

解説

• \(b\)の係数の数字がそろっている
  ⇒\(b\)から消去する
• 係数が同符号
  ⇒2式を引き算する

①－②のひっ算をすると

\(-2a=-6 \\ a=3\)

①に\(a\)の値を代入して
\(3+b=5 \\ b=2\)

よって\(a=3,b=2\)

一次関数の式を求めるときは、こういう\(b\)がそろった連立方程式を解いて求めます。

係数をそろえる操作に慣れよう

解説

②式の\(y\)の係数が1
⇒\(y\)の係数をそろえる
⇒②の両辺に2をかける

\(5x+2y=3\)…①
\(6x-2y=8\)…②’（②×2）

①＋②’のひっ算をすると

\(11x=11 \\ x=1\)

①に\(x\)の値を代入して
\(5+2y=3 \\ 2y=-2 \\ y=-1\)

よって\(x=1,y=-1\)

係数が1の文字があるときは、そちらから消去するとはやいです。

解説

• ②式の\(b\)の係数が1
  ⇒\(b\)の係数をそろえる
  ⇒②式の両辺に3をかける

\(5a+3b=-4\)…①
\(-6a+3b=-15\)…②’（②×3）

①－②’のひっ算をすると

\(11a=11 \\ a=1\)

①に\(a\)の値を代入して
\(5+3b=-4 \\ 3b=-9 \\ b=-3\)

よって\(a=1,b=-3\)

この計算の、\(a\)の項や、定数項のように、負の数をひき算をするときに計算ミスが起こりやすいです。

係数をそろえる操作をマスターしよう

解説

• \(x,y\)のどちらでそろえてもよいが、係数が小さいものでそろえる方が計算しやすいことが多い
  ⇒(x\)の係数をそろえる
  ⇒①の両辺に3、②の両辺に2をかける

\(6x+15y=-24\)…①’（①×3）
\(6x+4y=-2\)…②’（②×2)

①－②’のひっ算をすると

\(11y=-22 \\ y=-2\)

①に\(x\)の値を代入して
\(2x-10=-8 \\ 2x=2 \\ x=1\)

よって\(x=1,y=-2\)

一方の文字を求めた後、もうひとつの文字を求めるために代入するときは、変形前の①か②に代入した方がよいです。
①’、②’に変形するときの計算で間違っている可能性もあるからです。
答えを最後まで求めたあとに、元の式の①か②で検算すれば、変形中のミスも見つけることができます。

解説

• \(b\)をそろえる
  ⇒式①の両辺に2、式②の両辺に5をかける

\(12a+10b=-14\)…①'(①×2)
\(25a－10b=-60\)…②’（②×5）

①’＋②’のひっ算をすると

\(37a=-74 \\ a=-2\)

①に\(a\)の値を代入して
\(-12+5b=-7 \\ 5b=5 \\ b=1\)

よって\(a=-2,b=1\)

この計算の、\(a\)の項や、定数項のように、負の数をひき算をするときに計算ミスが起こりやすいです。

分数係数の問題で、加減法を自由自在に！

解説

分数は考えにくいので、両辺に同じ数をかけて分母をはらう
⇒式①の両辺に2をかける

\(x+2y=4\)…①’（①×2）
\(2x+3y=7\)…②

①’の式の\(x\)の係数が1
⇒\(x\)をそろえる
⇒式①の両辺に2をかける

\(2x+4y=8\)…①”（①’×2）
\(2x+3y=7\)…②

①”－②のひっ算をすると

\(y=1\)

②に\(y\)の値を代入して
\(2x+3=7 \\ 2x=4 \\ x=2\)

よって\(x=2,y=1\)

解説

②式の分数をはらう
⇒②式の両辺に6をかける

\(2a+3b=13\)…①
\(3a+2b=12\)…②’（②×6）

\(b\)の係数をそろえる
⇒①の両辺に2、②’の両辺に3をかける

4a+6b=26…①’（①×2）
9a+6b=36…②”（②’×3）

①’－②”のひっ算をすると

\(-5a=-10 \\ a=2\)

①に\(a\)の値を代入して
\(4+3b=13 \\ 3b=9 \\ b=3\)

よって\(a=2,b=3\)

両辺へのかけ算をするタイミングが3回もあります。
それだけかけ忘れやすくなるので、注意してください。

おわりに

この記事では、連立方程式の加減法について、基本手順から、ミスしやすいポイント、そして分数係数を含む応用問題まで、幅広く解説しました。

重要なのは、「これが正解」と決められた解き方に固執せず、自分にとって最も計算しやすい方法を見つけることです。
特に、係数を揃える操作や、足し算・引き算の符号の扱いは、慣れが求められます。

レベル別演習でたくさん手を動かし、ご紹介した工夫や検算方法を試しながら、加減法をあなたの強力な武器にしてください。

連立方程式には、今回扱った「加減法」の他に「代入法」という解き方もあります。
それぞれの特徴を理解し、問題に合わせて使い分けられるようになると、連立方程式のマスターは完了です。

次のステップとして、代入法についても演習してみましょう。

← 一つ前のページに戻る

← 一つ前のページに戻る

実は、「式を整理する手間を省ける」「\(x=◯\)の形なら一瞬で終わる」など、代入法には加減法より圧倒的に速く解けるパターンがたくさんあります。

この記事では、代入法の基本からミスを防ぐ「カッコの使い方」、さらに式変形が必要な応用までレベル別に解説します。
2つの解法を使い分けられるようになれば、連立方程式のスピードと正確さは一気に上がりますよ！

連立方程式の代入法の手順と注意点（前提知識）

代入法では、次の手順で計算します。

代入法は、

• 式の形が「\(x=○\)」や「\(y=○\)」
• 式中の\(x\)または\(y\)の係数が1のとき

のどちらかのときに使いやすいです。
加減法、代入法のどちらも、解のある全ての連立方程式を解くことができます。
だから、どちらを使うべきか、絶対のルールはありませんので、
練習を重ねて、自分が計算しやすいルールを作っていってください。

連立方程式の代入法を例題で理解

【解説】

式①が「\(y=◯\)」の形
⇒式②の\(y\)に式①を代入する

\(x+3(x+5)=3\ \\ x+3x+15=3 \\ 4x = -12 \\x = -3\)

式①に\(x\)の値を代入して
\(y=-3+5 \\ y=2\)

よって\(x=-3,y=2\)

代入法で2つ目の文字の値を求めるときは、
「\(x=◯\)」、「\(y=◯\)」の式に代入すると、計算がはやくて楽ですよ。

代入法のコツと慣れる方法

代入法を自由に使えるようになるためには、「\(x=○\)」または「\(y=○\)」の「○」の部分の式をひとかたまりとして見れることが重要です。

そのためには、代入するときは、必ずカッコをつけて代入するようにしましょう。

連立方程式の検算（加減法の演習記事でも同じことを書いています）

連立方程式では、最後に代入した式と違う方の式に（例題では式②）に代入すると、答えが正しいかどうかを確認できます。
代入しても等式が成立すれば、それが正しい答えであるとわかります。

実際に、例題で\(x=-3,y=2\)を式②に代入すると
\(-3+3 \times 2 =3\)

となり式②が成り立つので、
\(x=-3,y=2\)が正しい答えであると確認できます。

レベル別の演習問題で加減法をマスター！

代入の操作に慣れよう

解説

式①を式②に代入すると

\(3x-2(2x-7)=8 \\ 3x-4x+14=8 \\-x = -6 \\ x = 6\)

式①に\(x\)の値を代入して
\(y=2 \times 6-7 \\ y=5\)

よって\(x=6,y=5\)

この問題のように、係数がマイナスのカッコを外すときは、計算ミスが起こりやすいです。
必ず検算して、答えが正しいか確かめましょう。

代入法の式変形に慣れよう

解説

式①の\(x\)の係数が1
⇒「\(x=◯\)」の形に変形

\(x-4y=1\)…①
\(x=4y+1\)…①’

式①’を式②に代入すると

\(2(4y+1)-3y=7 \\ 8y+2-3y=7 \\ 5y=5 \\ y=1\)

式①’に\(y\)の値を代入して
\(x=4 \times 1+1 \\ x=5\)

よって\(x=5,y=1\)

係数が1のときは、加減法でも解きやすいので、どちらでも好きな方で解いて大丈夫です。

解説

式①の\(y\)の係数が－1
⇒\(y=◯\)の形に変形

\(3x-y=6 \)…①
\(-y=-3x+6\)
\(y=3x-6\)…①’

式①’を式②に代入すると

\(5x-2(3x-6)=4 \\ 5x-6x+12=4 \\ -x=-8 \\ x=8\)

式①’に\(x\)の値を代入して
\(y=3 \times 8-6 \\ y=18\)

よって\(x=8,y=18\)

係数が－1のときは、変形するときに符号を間違えやすくなるので注意してください。

一次関数のグラフの交点の求めるときの連立方程式

一次関数は、連立方程式の後の学習範囲なので、未習の方は飛ばして先に進んでいただいても大丈夫です。
問題は、連立方程式の知識だけで解くことができます。

2つのグラフの交点を求めたいときは、そのグラフの式を連立させて解くと、その交点の座標がわかります。

また、関数の式は「\(y=◯\)」の形で表されます。
そのため、交点を求めるときは、代入法で解くのが最も効率的です。

どちらの式も「\(y=◯\)」の形で表されているので、
代入法を使うと、式の右辺同士を等号（＝）でつないだ方程式が得られます。

交点を求める計算だけを繰り返していると、何を意味しているのかが分かりにくくなるかもしれません。
しかし、「交点では、両方の式の\(y\)座標が等しいから、一方の式をもう一方の式に代入している」という本質的な感覚を持てるようにしておくと、より深く関数を理解することができると思います。

解説

式①を式②に代入して

\(\displaystyle -\frac{1}{2}x+3=x-3 \)

両辺に2をかけて

\(-x+6=2x-6 \\ -x-2x =-6-6 \\ -3x=-12 \\ x=4\)

式②に\(x\)の値を代入して
\(y=4-3 \\ y=1 \)

よって\(x=4,y=1\)

分数をはらうタイミングですが、先に分数をはらっても、代入後に分数をはらっても計算の工程としてはそれほど変わらないので、好みで大丈夫です。
ぼくは、「交点⇒連立⇒代入法」と1セットで考えるクセがあるので、交点を求めるときは、\(x\)の方程式ができてから分数をはらっています。

応用問題を解いて、代入法を自由自在に！

解説

式①が「\(y=◯\)」の形なので、代入法でよいです。
このような式の場合は、右辺の\(4(x-1)\)をひとかたまりで見てください。

式①を式②に代入すると

\(5x-3 \times 4(x-1) = -2 \\ 5x -12(x-1)=-2 \\ 5x-12x+12 =-2 \\ -7x=-14 \\ x=2 \)

式①に\(x\)の値を代入して
\(y=4(2-1) \\ y=4 \times 1 \\ y =4 \)

よって\(x=2,y=4\)

先に式①を展開してもいいのですが、計算工程が増えてしまいます。
カッコでくくられた式をひとかたまりで見れるよう練習しましょう。

おわりに

お疲れ様でした！
代入法を使いこなせれば、わざわざ式を並べ替えたり、係数をそろえたりする手間がなくなります。

大切なのは「カッコをつけて、ひとかたまりで代入する」こと。
このコツさえ掴めば、複雑な問題でもミスは激減します。

また、代入法に慣れておくと、今後学習する「一次関数のグラフの交点」もスムーズに解けるようになりますよ。

問題に合わせて「加減法」と「代入法」を適切に選べるようになれば、連立方程式はもう完璧です。
自信を持って次のステップへ進みましょう！

← 一つ前のページに戻る

「どの公式を使えばいいか分からない」
「ひらめきがないと解けない気がする」

塾で多くの生徒を見てきましたが、そう悩む子には共通点があります。
それは、「公式以外の解き方があるのではないか」と疑っていることです。

でも、実際は、因数分解には公式以外の解き方はなく、突き詰めれば「5つの選択肢から選ぶだけの照合作業」です。

この記事では、因数分解の本当の意味と、なぜ「公式以外は考えなくていい」と言い切れるのか、その戦略的な理由をお伝えします。

因数分解って何？

なぜわざわざ「かけ算の形」にするの？

たとえば、

\(a+b=0\)
という式があっても、\(a\)、\(b\)がいくつかはわかりませんが

\(a \times b = 0\)
という式があれば、かけて 0 になる数字は 0 しかないです。
だから、\(a\)、\(b\)のどちらか1つは 0 であるということがわかります。

このように、足し算よりかけ算の方が、式を検討しやすいのです。
因数分解とは、式を考えやすくするための整理の方法だと思ってください。

因数分解の仕組みを具体例で確認しよう

因数って何？

数や式をかけ算の形に直したときの要素のことを因数と言います。

いくつか具体例を見てみましょう。

• \(8=2 \times 4\)
  ⇒\(2\)と\(4\)は\(8\)の因数
• \(xy=x \times y\)
  ⇒\(x\)と\(y\)は\(xy\)の因数
• \((x+1)(x+2)=(x+1) \times (x+2)\)
  ⇒\((x+1)\)と\((x+2)\)は\((x+1)(x+2)\)の因数

では、因数の意味がわかったところで、次は因数分解とは何かを見ていきましょう。

因数分解は「かけ算のカタマリ」を作ること

一言で言うと展開の逆です。
たとえば、\((x+1)(x+2)\)を展開すると\(x^2+2x+3\)になりますよね。

これを、逆に

\(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\)

と戻すことを、因数分解と呼びます。

因数分解とは、多項式（足し算、引き算で項がつながる式）をかけ算だけの式に変形する操作のことなんです。

「カッコの中に足し算があるじゃないか」
と思われる方がいるかもしれません。
しかし、カッコの中はひとかたまりとして見るが数学のルールなので、カッコ内の足し算、引き算はあっても構いません。
文字と数字で計算できないので、そのまま残っているだけと考えてください。

因数分解する問題はパターンの確認作業

因数分解の定義は「展開の逆」ですが、具体的にテスト中に何をやるのかというと、実は次の2ステップだけです。

1. 式が「展開公式の結果」の形になっていないか確認
2. なっていた場合、公式通りに式を変形

色々と学ぶので、途中、何をしているのかがわからなくなってしまうかもしれません。
でも、実際にやっていることは「展開公式の結果」の形になっているかの確認作業なんです。

どこに注目して確認していけばよいかは、次の記事から説明していきます。

因数分解の武器はたったの5つだけ

ここで一番大切なことをお伝えします。
テストで出てくる因数分解は、100%『公式のどれか』に当てはまるように作られています。

世の中には、公式で因数分解できない数式はたくさんあって、むしろ公式で因数分解できる数式はごくわずかな例外です。
しかし、問題として出題されるのは、そのごくわずかの例外の数式だけなんです。

自分の知らない魔法のような解き方があるんじゃないか、と不安になる必要はありません。

『公式のどれかには絶対にある』と信じて、消去法でチェックしていく。

これが、手が止まらない人の本当の思考法です。

因数分解の公式には、次の5つがあります。

• 共通因数でくくる
  \(ma+mb=m(a+b)\)
• 和と積の公式
  \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
• 2乗の公式（プラス）
  \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
• 2乗の公式（マイナス）
  \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
• 2乗－2乗の公式
  \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)

つまり、因数分解の問題では、この5つの公式のどれに当てはまるかを考えているだけなのです。

おわりに

お疲れさまでした。

因数分解は、決して「センス」や「ひらめき」が必要なものではありません。
「この形なら、この公式」という、徹底した確認作業の世界です。

選択肢は5つ。
そして、実はその5つをチェックする「最も効率的な順番」が存在します。

次回からは、その戦略の第一歩、「第1回：共通因数」について解説します。
すべての因数分解において、真っ先に確認すべき「絶対の儀式」です。
ここをマスターするだけで、計算ミスと迷いは劇的に減りますよ。

一緒にがんばりましょう。

← 一つ前のページに戻る

「なんだか簡単そう」と思うかもしれませんが、実はここが一番の落とし穴。
ここでミスをしたり、やり残しがあったりすると、この後に続く難しい公式もすべて台無しになってしまいます。

この記事では、因数分解の「ミスをゼロにする3つの手順」と、初心者がハマりやすい「3つの落とし穴」を具体例とともに紹介します。

公式\(ma+mb=m(a+b)\)はどうやって考えたらいい？

「共通因数でくくる」と言われるタイプの因数分解の公式です。
これは、実は中1で習った「分配法則」の逆になっています。

• 分配法則（中1）：
  \(m(a+b)=ma+mb\)
  （カッコを外してバラバラにする操作）
• 共通因数（中3）：
  \(ma+mb=m(a+b)\)
  （バラバラのものをカッコにまとめる）

具体的には、次の手順で共通因数でくくることができます。

共通因数のくくり方を具体例で見てみよう

共通因数とは？

共通因数とは、字の通り、全ての項に共通する因数のことです。

因数とは、数字をかけ算の形に直したときの、要素のことでした。
たとえば、次のようなものが因数です。

\(6=2 \times 3\)
⇒\(2\)と\(3\)は\(6\)の因数

だから、「ある数の因数」は、「その数を割り切れる数」とも考えられます。

また、数字だけでなく、文字も同じように割り切れます。
たとえば\(x^2\)と\(x\)なら、両方を\(x\)で割ることができるので、\(x\)が共通因数になります。

つまり、共通因数とは「すべての項を割り切れる数、文字」のことなのです。

公式\(ma+mb=m(a+b)\)では、\(m\)が共通因数です。

どうやったら共通因数でくくれる？

もう一度公式を見てみます。

\(ma+mb=\color{red}{m}\color{blue}{(a+b)}\)

公式では、因数分解後の式は、

• カッコの外
  共通因数(\(\color{red}{m}\))
• カッコの中
  元の式÷共通因数(\(\color{blue}{(a+b)}\))

となっていることがわかります。

そのため、

1. 共通因数を見つける
2. カッコの外に共通因数を出す
3. カッコの中を(共通因数÷元の式)にする

という手順で因数分解することができます。

具体例で見ていきましょう。

例1（項が2つ、共通因数が数字）

\(3x-12\)

1. \(3x,-12\)の共通因数は\(3\)
   ⇒カッコの外に\(3\)を出す
2. \(3x \div 3 = x\)
   \(-12 \div 3= -4\)
   ⇒カッコの中は\((x-4)\)

よって

\(3x-12=3(x-4)\)

例2（項が2つ、共通因数が負の数）

\(-4x-8\)

1. \(-4x,-8\)の共通因数は\(-4\)
   ⇒カッコの外に\(-4\)を出す
2. \(-4x \div (-4) = x\)
   \(-8 \div (-4)= 2\)
   ⇒カッコの中は\((x+2)\)

よって

\(-4x-8=-4(x+2)\)

「共通因数が\(4\)でもいいじゃないか」と思われるかもしれません。
ただ、カッコの中身は「文字が先頭、文字の係数は正」がルールなので（そうしないと見づらい）、負の数でくくってやってください。

例3（項が3つ、共通因数が数字）

\(4x-6y+10\)

1. \(4x,-6y,10\)の共通因数は\(2\)
   ⇒カッコの外に\(2\)を出す
2. \(4x \div 2 = 2x\)
   \(-6y \div 2= -3y\)
   \(10 \div 2 = 5\)
   ⇒カッコの中は\((2x-3y+5)\)

よって

\(4x-6y+10=2(2x-3y+5)\)

例4（共通因数が文字）

\(x^2-4x\)

1. \(x^2,-4x\)の共通因数は\(x\)
   ⇒カッコの外に\(x\)を出す
2. \(x^2\div x = x\)
   \(-4x \div x= -4\)
   ⇒カッコの中は\((x-4)\)

よって

\(x^2-4x=x(x-4)\)

例5（共通因数が数字と文字）

\(2xy+6y\)

1. \(2xy,6y\)の共通因数は\(2y\)
   ⇒カッコの外に\(2y\)を出す
2. \(2xy \div 2y = x\)
   \(6y \div 2y= 3\)
   ⇒カッコの中は\((x+3)\)

よって

\(2xy+6y=2(x+3y)\)

共通因数でくくるときの計算の工夫

例5のように、数字と文字が混ざった共通因数で間違えやすい人は、共通因数を探す手順を、次のように分解するとよいです。

1. 探す：
   • すべての項を割り切れる数字がないか考える
   • すべての項に共通する文字がないか考える
     （ない場合は1と考える）
   • 考えた数字、文字をかけて共通因数を見つける
2. 出す：
   その共通因数をカッコの外に書く。
3. 割る：
   残ったものをカッコの中に書き込む。
   （元の式÷共通因数）

先ほどの例を用いて、共通因数の探し方を具体的に見ていきます。

例1

\(3x-12\)

1. 共通因数を探す
   • \(3x,-12\)を割り切れる数は\(3\)
   • \(3x,-12\)に共通する文字はない
   • 共通因数は\(3\)

例5

\(2xy+6y\)

1. 共通因数を探す
   • \(2xy,6y\)を割り切れる数は\(2\)
   • \(2xy,6y\)に共通する文字は\(y\)
   • 共通因数は\(2 \times y = 2y\)

練習するうちに、分けなくてもできるようになってきます。
慣れるまでは、共通因数でくくれそうなときは、このように手順を分けてやってください。

共通因数でくくるときによくあるミス3選

途中で因数分解をやめてしまう

答えに「まだ因数分解できるかたち」が残っている場合、それは因数分解が不完全とみなされます。

たとえば、\(4x+16\)を

\(4x+16=2(2x+8)\)

のように因数分解すると、カッコの中の\((2x+8)\)がまだ\(2\)でくくれる形になっているため、不正解となってしまいます。
正しくは、次のようになります。

\(4x+16=4(x+4)\)

因数分解をしたときは、必ずカッコ内を確認して、因数分解できるかたちではないか確認するようにしましょう。

負の数で括るときの符号間違い

展開のときと同じで、負の数でくくったときの符号変化は間違えやすいです。

たとえば、\(-2x-8\)を因数分解すると

\(-2x-8=-2(x \color{red}{+4})\)

と因数分解できます。
赤字部分の符号を特に間違えやすいので、必ず注意して計算して、符号ミスをしていないか見直しもするようにしてください。

カッコの中身の\(1\)を\(0\)としてしまう

たとえば、\(x^2+x\)の因数分解で、
正しくは、

\(xy+y=y(x+1)\)

とすべきところを

\(xy+y=y(x)\)

のように、\(y \times y\)の計算を\(0\)としてしまう答案をときどき見かけます。
\(y \times y = 1\)ですので、間違えたことがある方は、必ず気をつけて計算してください。

割られる数が\(0\)でなければ、割り算で\(0\)になることはありえません。

おわりに

お疲れ様でした！共通因数でくくるコツは掴めたでしょうか？

1. 共通因数を探す
2. 共通因数をカッコの外に出す
3. カッコの中を（元の式÷共通因数）にする

の手順を踏めば、共通因数でくくることができます。
また、文字と数字がまざった共通因数で戸惑うようであれば、数字と文字を別々に探すようにしてみてください。

すべての因数分解は、この「共通因数」がないか考えるところから始まります。
地味に見える作業ですが、どんな複雑な問題でも、まずは「共通なものはないか？」と考えるクセをつけてください。

次回は、いよいよ因数分解の本丸「和と積の公式」に挑戦しましょう。組み合わせを爆速で見つけるフィルター術を伝授します！

← 一つ前のページに戻る

特に数字が大きくなってくると、『ペアが全然見つからない！』とパズルのように迷子になってしまいがちです。

そこでこの記事では、和と積の公式の『基本の使い方』はもちろん、ぼくが塾講師時代に教えていた『一瞬で数字を絞り込むプロの技』までをセットで解説します。

基礎からしっかり固めたい人も、計算スピードを劇的に上げたい人も、ぜひ参考にしてください。これを読めば、もう数字探しで迷うことはなくなりますよ！」

和と積の公式ってどうやって使えばいい？

「因数分解といえばこれ」みたいな公式です。
この公式は、

\(x^2+○x+△\)

のような形の式に使います。
具体的には、次の手順で使えるかどうか確認できます。
（式中の赤字部分に注目してください）

ちょっと先の話ですが、他の公式でも、まず見るべきは定数項です。
だから、因数分解をするときは、次の順で考える習慣をつけてください。

1. 共通因数がないか確認
2. 定数項の確認

具体例で和と積の公式を確認してみよう

例1

\(x^2+4x+3\)

1. 定数項\(3\)
   かけて\(3\)になる数字の組み合わせは、
   \((1,3),(-1,-3)\)
2. \(x\)の係数\(4\)
   1.のうち足して\(4\)になる組み合わせは、
   \((1,3)\)
3. 公式\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)において
   \(a=1,b=3\)とわかるので
   （\(a\)と\(b\)が逆でもいいです）

\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)

例2

\(x^2-6x+8\)

1. 定数項\(8\)
   かけて\(8\)になる数字の組み合わせは、
   \((1,8),(2,4),(-1,-8),(-2,-4)\)
2. \(x\)の係数\(-6\)
   1.のうち足して\(-6\)になる組み合わせは、
   \((-2,-4)\)
3. \(a=-2,b=-4\)を公式に当てはめると

\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\)

例3

\(x^2-2x-24\)

1. 定数項\(-24\)
   かけて\(-24\)になる数字の組み合わせは、
   \((1,-24),(2,-12),(3,-8),(4,-6),(6,-4),(8,-3),(12,-2),(24,-1)\)
2. \(x\)の係数\(-2\)
   1.のうち足して\(-2\)になる組み合わせは、
   \((4,-6)\)
3. \(a=4,b=-6\)を公式に当てはめると

\(x^2-2x-24=(x+4)(x-6)\)

定数項が大きくなってくると、その分書き出す候補も増えていきます。
そんなときは、候補の絞り込みを楽にできる次で説明する方法を試してみてください。

候補をぐっと絞る！2つの数字の探し方のコツ

この順で考えると、1から順番に候補を試す作業から抜け出せますし、符号をどうするかの迷いも格段に減ります。
もう少し具体的に、例で確認していきましょう。

例4

\(x^2-x-72\)の因数分解

絶対値の組み合わせを探す

定数項：\(-72\)
\(x\)の係数：\(-1\)

• 定数項が負なので、2つの数を引いて\(x\)の係数の絶対値（=1）になる組み合わせを探す
• \(x\)の係数の差が1、つまり隣り合う2つの数

\(72 = 8 × 9 　→　9 – 8 = 1　✓\)

符号を決める

定数項が負なので符号は別々
差が\(-1\)（負）だから大きい方の9が負

よって、因数分解できる2数は\(-9\)と\(8\)とわかる

\(x^2-x-72=(x+8)(x-9)\)

例5

\(x^2-17x+72\)

絶対値の組み合わせを探す

定数項：\(+72\)
\(x\)の係数：\(-17\)

• 定数項が正なので、2つの数を足して\(x\)の係数の絶対値（=17）になる組み合わせを探す
• \(17\)は\(72\)の半分（\(36\)）より小さいので、バランスよく割る組み合わせを探す。

\(72 = 8 × 9 　→　8+9=17　✓\)

符号を決める

定数項が正なので符号は同じ
\(x\)の係数（\(-17\)）が負だから、両方負

よって、因数分解できる2数は\(-8\)と\(-9\)とわかる

\(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\)

\(x\)の係数の大小で、2数の候補を絞るときは、\(x\)の係数が定数項の半分より大きいかどうかで判断するといいです。

• \(72=1 \times 72\)
  \(72+1=73\)
  \(72-1=72\)
• \(72=2 \times 36\)
  \(36+2=38\)
  \(36-2=36\)

のように、2数が開くほど和・差のどちらも（\(x\)の係数\)は大きくなっていきます。
半分を目安にするだけで、\(1\)や\(2\)が相方になるような組み合わせは最初から考えなくてよくなります。

おわりに

今回は、”かけて◯、足して△”の公式の基本と計算の工夫を紹介しました。

塾の講師をしていたころの話ですが、この考え方は、数学が得意な生徒には公式の導入時にあわせて説明することが多く、苦手な生徒にはテスト前の演習時などに補足的に伝えていました。
人によっては、候補を全部書き出した方がはやいし正確という人もいます。

他にも自分なりの判断ポイントはあります。
しかし、状況に応じて使い分けているため、この記事では割愛しています。
塾などであれば、個人の進度に合わせてアドバイスできるのが強みですね。

どれが正しい方法というものでもないです。
だから、「自分が使いやすい方法」を見つけることが一番大事ですよ。

← 一つ前のページに戻る

積が24、和が10という問題に直面したとき、「4と6」か「2と12」かで迷い、時間をロスしてしまうのは非常にもったいないことです。
テストという限られた時間の中で、直感だけに頼るのには限界があります。

数学には、直感に頼らずとも確実に正解へたどり着くための「論理的な手順」が存在します。
この記事では、大きな数字でも迷わずに、効率よく組み合わせを見つけるための計算戦略を解説します。
この解き方を習得して、テストでの得点力とスピードを同時に引き上げていきましょう。

和と積の公式について簡単におさらい

真ん中の数字の大小は、右端が小さいときは考えなくても大丈夫です。
右端が50を超えるようなときは、意識するとはやく解けるようになります。

演習問題で因数分解の和と積の公式をマスターしよう！

和と差の積の公式で因数分解できる数式だけを準備しています。
実際に手を動かして因数分解してみましょう！

解説

1. 数字の組み合わせを探す
   • 右端の符号が「＋」
     ⇒足して真ん中の数字（\(8\)）になるペア
   • 真ん中の数字が「大きい」
     ⇒2つの数字は離れている
   • かけて\(12\)、足して\(8\)になる遠い数字は？
     ⇒\((2,6))\
2. 符号の決定
   真ん中が「\(+8\)」
   ⇒足して\(+8\)になる組み合わせにする。
3. \((2,6)\)を使って\(+8\)を作るには？
   ⇒\((+2, +6)\)

よって

\(x^2+8x+12=(x+2)(x+6)\)

右端の数字が\(12\)程度だと、真ん中の数字の大小はあんまり考えなくても大丈夫かもしれません。

解説

1. 数字の組み合わせを探す
   • 右端の符号が「－」
     ⇒引いて真ん中の数字（\(2\)）になるペア
   • 真ん中の数字が「小さい」
     ⇒2つの数字は近い
   • かけて\(24\)、引いて\(2\)になる近い数字は？
     ⇒\((4,6))\
2. 符号の決定
   真ん中が「\(-2\)」
   ⇒足して\(-2\)になる組み合わせにする。
3. \((4,6)\)を使って\(-2\)を作るには？
   ⇒\((4, -6)\)

よって

\(x^2-2x-24=(x+4)(x-6)\)

真ん中の数字が小さいなあと思ったら、九九の範囲から試してみてください。

実は、この数字の組み合わせは、結構間違えやすいです。

解説

1. 数字の組み合わせを探す
   • 右端の符号が「－」
     ⇒引いて真ん中の数字（\(10\)）になるペア
   • 真ん中の数字が「大きい」
     ⇒2つの数字は遠い
   • かけて\(24\)、引いて\(10\)になる遠い数字は？
     ⇒\((2,12))\
2. 符号の決定
   真ん中が「\(+10\)」
   ⇒足して\(-2\)になる組み合わせにする。
3. \((2,12)\)を使って\(+10\)を作るには？
   ⇒\((-2, +12)\)

よって

\(x^2+10x-24=(x-2)(x+12)\)

\(4 \times 6=24 \\ 4+6 = 10\)

なので、次の演習5のような問題と混同してしまいます。
次で、実際に見てみましょう。

解説

1. 数字の組み合わせを探す
   • 右端が「＋」
     ⇒足して真ん中の数字（\(10\)）になるペア
   • 真ん中が「小さい」
     ⇒2つの数字は近い
   • かけて\(24\)、足して\(10\)になる近い数字は？
     ⇒\((4, 6))\
2. 符号の決定
   真ん中が「\(+10\)」
   ⇒足して\(+10\)になる組み合わせにする。
3. \((4, 6)\)を使って\(+10\)を作るには？
   ⇒\((+4, +6)\)

よって

\(x^2+10x+24=(x+4)(x+6)\)

人は、2つのことを同時にすると脳のパフォーマンスが落ちてしまいます。

• 数字を探す
• 符号を探す

という作業を分割することで、脳を効率よく使うことができるんです。

真ん中の数字の大小を見れるようになっていると、右端の数がこれぐらいの大きさになったときの検討効率が全然違ってきます。

おわりに

お疲れ様でした。

今回お伝えした「数字の距離（遠い・近い）」を意識する方法は、慣れるまでは少し手間に感じるかもしれません。
しかし、一度この感覚を身につければ、数字が大きくなっても計算ミスを劇的に減らすことができます。

因数分解は、これから学習する「二次方程式」や「二次関数」において、すべての土台となるとても大事な基礎体力です。
ここで計算力を養っておくと、数学全体の成績向上に直結します。
ぜひ繰り返し練習して、無意識に使いこなせるレベルを目指してください。

応援しています！

因数分解の「2乗の公式」は、見た目がシンプルな分、実は「うっかりミス」が非常に多い公式でもあります。

数学が得意な人は、ただ数字を眺めているのではありません。
「ある決まった順番」で式をチェックし、その公式が本当に使えるかどうかを慎重に見極めています。

今回の記事では、私が塾講師時代に徹底して教えていた「2乗の公式の見抜き方」と、多くの人がハマってしまう「ミスの罠」について詳しく解説します。

2乗の公式はどうやって見抜いたらいい？

2乗の公式は、和と積の公式と同じように

\(x^2+◯x+△\)

のかたちの式であれば、使える可能性があります。
実際に2乗の公式が使えるかどうかは、次の手順で判断できます。
（赤字に注目してください）

ポイントは、定数項と\(x\)の係数の数字部分から2乗の公式が使えるかたちか判断して、その後に\(x\)の係数の符号から、2乗の公式のうちのどちらを使うかを判断することです。

因数分解の2乗の公式を具体例で確認

\(x^2+12x+36\)の因数分解を考えてみます。

定数項の確認

定数項は\(+36\)です。
これは、\(6\)の2乗になっています。
よって、現時点では2乗の公式が使える可能性があります。

そのため、次は\(x\)の係数の数字部分を確認します。

\(x\)の係数の数字部分の確認

定数項\(+36\)が\(\color{red}{6}\)の2乗だったので、\(\color{red}{6}\)の2倍と\(x\)の係数の数字を比べます。

• \(2 \times \color{red}{6} = 12\)
• \(x\)の係数の数字：\(12\)

この2つが一致していることが確認できました。
そのため、2乗の公式のどちらかが使えるかたちと判断できます。

また、このとき公式の\(a\)の値は\(\color{red}{6}\)です。

\(x\)の係数の符号を確認

\(x\)の項が\(+12x\)なので、\(x\)の係数は正です。
そのため、2乗の公式のうち

\(x^2+2ax+a^2=(x+a)\)

の公式が使えるかたちで、\(a=6\)とわかりました。

よって、元の式は次の式のように因数分解できます。

\(x^2+12x+36=(x+6)^2\)

因数分解、2乗の公式のよくあるミス

この公式でよく見かけるミスが、定数項が2乗の数になっていることだけを確認して、2乗の公式を使ってしまうことです。

この公式、\(a\)が一桁の数で出てくることがほとんどなので、式の種類が18種類しかありません。
数字の組み合わせだけで言うと、9種類とかなり少なく、演習を重ねると数字を覚えてしまいます。
そのため、ついうっかり定数項だけを見て公式を決めてしまうということが起こってきます。

たとえば、次のような因数分解では、

\(x^2-10x+16\)

定数項の\(16\)だけを見て

\(x^2-10x+16=(x-4)^2\)

のように因数分解するのではなく、
（もちろん間違いです）

• 定数項
  \(+16\)→\(\color{red}{4}^2\)
• \(x\)の係数の数字との比較
  \(2 \times \color{red}{4}=8\)
  \(x\)の係数の数字：\(10\)
  ⇒一致していない
  ⇒2乗の公式は使えない

と順に確認して、2乗の公式が使えるかたちかどうか判断してください。

ちなみに、この式では\(-2,-8\)が「かけて\(16\)、足して\(-10\)になるので、和と積の公式が使えます。

\(x^2-10x+16=(x-2)(x-8)\)

と因数分解できます。

おわりに

お疲れ様でした。

今回は、「2乗の公式」について解説しました。
「右端と真ん中を確認する」という手順さえ守れば、もう迷うことはありません。

さて、因数分解にはもう一つ、「項が2つしかない」という特殊な形が存在します。
実はこれ、今回よりもさらに一瞬で解けるボーナス問題なんです。
次回は、その「2乗－2乗」の公式を攻略していきましょう！

← 一つ前のページに戻る