「2本の直線の交点ってどうやって求めたらいいんだっけ？」
そう思っていませんか？
グラフの交点は、グラフの式を連立させて、連立方程式を解けば求めることができます。
なぜ連立方程式で交点を計算できるのか、不思議に思う方も多いかもしれません。
実は、グラフの式と連立方程式はちゃんとつながっているからです。
この記事では、直線のグラフの交点の求め方から、なぜそれで求められるのかについて、例と図を使ってわかりやすく解説します。
- 2つの直線の交点の求め方
- 交点を求めるときの計算のコツ
- 二元一次方程式と一次関数が同じものであること
- 連立方程式の解のグラフからの求め方
- 「グラフを使った連立方程式の解き方」を学ぶ意義
2つの直線の交点ってどうやって求めたらいい？
グラフの交点を求めるときは、グラフの式を連立させる
まず、求め方の具体例から見ていきましょう。
2つの直線の交点の求め方を具体例で見てみよう
\[y=2x-1\]…①
\[y=x+2\]…②
①を②に代入すると
\[2x-1=x+2 \]
\[ x=3\]
①に\(x=3\)を代入して
\[y=2 \times 3 -1 \]
\[ y = 5\]
よって交点は\((3,5)\)と求めることができます。
なぜ連立方程式の解が2つの直線の交点になるの？
グラフは「式を満たす点のあつまり」です。
①の直線は①の式を満たす\(x,y\)の組み合わせのあつまりで、②の直線は②の式を満たす\(x,y\)の組み合わせのあつまりです。
また、グラフの交点とは、2つのグラフに共通する点のことです。
だから、2つの式のどちらも満たす\(x,y\)の組み合わせが交点の座標となります。
一方、連立方程式は、「共通の解を持つ式を組み合わせて解を求める解き方」です。
そのため、2つの式を満たす共通の\(x,y\)を求めるために連立方程式を使うのです。
グラフの交点を求める計算のコツ
関数の式は必ず「\(y=○\)」の形で表されています。
だから、代入法を使ったほうが速く計算できて、ミスも少ないです。
（具体的には、式の右辺同士をイコールでつないでいるだけですが）
連立方程式を習う順番が「加減法⇒代入法」の順番が一般的なので、代入法と聞くと食わず嫌いをする人をときどき見かけますが、ここは絶対代入法がよいです。
グラフの交点を考えるときの思考ロジック
「グラフの交点⇒関数の式を連立⇒関数の式を探す」という考え方の型を持っておいてください。
グラフの交点は、連立させる以外に求め方はありません。
だから、必ず関数の式が必要になります。
難しい問題になると、関数の式が決まっておらず、式を自分で求める必要があるときがあります。
しかし、「交点⇒連立⇒関数の式が必要」と考えられれば、迷わず関数の式を求めにいくことができます。
次の2つの直線①、②の交点を求めます。
2本の直線の交点から連立方程式の解を求める方法（グラフ⇒解）
連立方程式の解を求めるためには、加減法か代入法を使いますが、それ以外にもグラフを描いて図から求める方法もあります。
「二元一次方程式」と「一次関数の式」の関係からはじめて、どういう手順で求めればよいか解説していきます。
二元一次方程式と一次関数の式ってどういう関係？
「二元一次方程式」と「一次関数の式」は同じもの
二元一次方程式は、
\(x-2y=2\)
のような、いわゆる中2の連立方程式で出てくる方程式をイメージしてもらうといいです。
元は「方程式に含まれる文字の種類」、次は「方程式中の文字の最高の次数」のことを意味します。
つまり、二元一次方程式とは
「文字の種類が2種類、文字の最高次数が1次の方程式」
のことを言います。
この式を\(y\)について解くと、次のように変形できます。
\[x-2y=2 \]
\[ -2y=-x+2\]
\[ y=\frac{1}{2}x-1\]
これで一次関数の式と同じ形になりました。
つまり、「二元一次方程式」と「一次関数の式」は同じものだったということです。
連立方程式の解をグラフの交点から求めるにはどうしたらいい？
- 二元一次方程式をそれぞれ一次関数の形に変形する
- それぞれのグラフを描く
- 目盛りで交点を読む
⇒交点の座標が連立方程式の解
最初の章で「交点を求めたい⇒連立」という流れを説明しましたが、今回はその逆で、「連立方程式の解を求めたい⇒交点を読む」という流れになっています。
「交点を求めること」と「連立方程式を解くこと」は、どちらも「共通の\(x,y\)を求めること」なので、逆の流れで考えても問題ないということです。
連立方程式のグラフを用いた解き方を具体例で見てみよう
\[2x-y=-1\]…①
\[x+y=-5\]…②
という2つ二元一次方程式の連立方程式を考えます。
それぞれ、\(y\)について解くと、次のように変形できます。
\[y=2x+1\]…①’
\[y=-x-5\]…②’
これをグラフ用紙に描いて、目盛りを読むと
交点は\(-2,-3\)と読み取ることができます。
（下図参照）
だから、元の連立方程式の解は
\[x=-2,y=-3\]
と求めることができます。
なぜわざわざグラフを描いて方程式を解くの？
連立方程式は、加減法や代入法で解けます。
だから、この範囲で「方程式を解くためにグラフを描く」という内容を学習しても、いったい何のために学んでいるのかがわかりづらいと思います。
この範囲を学習するのは、「方程式の解」と「関数のグラフ」の関係をとらえるためです。
これから関数の学習が進んでいくと、数式とグラフを自由に行き来する能力が必要になります。
この範囲は、その能力を養う第一歩になっているのです。
ぼくが見てきた中でですが、この『数式とグラフの行き来』ができていなくて、高校の関数につまずいてしまうケースはかなり多いです。
最初からこの関係性が見えていれば、その後の数学がとても楽になりますよ。
2つの直線の式の交点と連立方程式の解のまとめ
今回の記事のまとめは次の通りです。
- 2つの直線の交点を求めたいときは2式を連立させる
- 交点を求めるときは代入法が便利
- 「交点を求めること」、「連立方程式を解くこと」のどちらも「共通の\(x,y\)を求めること」である
- 二元一次方程式と一次関数の式は同じもの
- グラフを描いて交点を読み取ることで連立方程式の解が求められる
- グラフを使って連立方程式を解く方法を学ぶ意義は、「式⇔グラフ」の考え方を深めること
今回の記事はここまでです。
交点の求め方や、方程式と関数の式の関係性などは、今後の関数学習でも大事なポイントになってきます。
最初はわかりづらいと思いますが、手を動かすうちに慣れてきますよ。
- 連立方程式の解き方を復習したい方はこちら
今回の記事ととても関係の深い連立方程式を、意味からはじめて、解き方（加減法・代入法）までを具体例、図解付きで解説。
間違えやすいポイントや、代入法を学習することの意義まで、くわしく説明しているので、ぜひ一度読んでみてください。
👉連立方程式の意味と解法！加減法と代入法をマスターしよう
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