【中3・因数分解】公式の選び方のコツを徹底解説！4ステップで迷わない選び方

「公式は覚えたはずなのに、問題によってどれを使えばいいかわからなくなる…」
そんな悩みを抱えていませんか？

因数分解は、丸暗記に頼ろうとすると式が複雑になった途端につまずきやすくなります。
でも、因数分解の正体は「かけ算の形に整理する操作」であり、解法の手順さえ知っていれば迷うことはありません。

この記事では、5つの基本公式を効率よく見極める「4ステップの判断手順」をていねいに解説します。

順を追って整理していけば、どんな問題でも自信を持って解き進められるようになりますよ。

因数分解とは何かをていねいに解説

まず、「因数」、「因数分解」という言葉の意味を整理していきます。

因数とは？

数や式をかけ算の形に直したときの要素のことを因数と言います。

いくつか具体例を見てみましょう。

• \(8=2 \times 4\)
  ⇒\(2\)と\(4\)は\(8\)の因数
• \(xy=x \times y\)
  ⇒\(x\)と\(y\)は\(xy\)の因数
• \((x+1)(x+2)=(x+1) \times (x+2)\)
  ⇒\((x+1)\)と\((x+2)\)は\((x+1)(x+2)\)の因数

因数の意味がわかると、因数分解も何となくイメージしやすくなるんじゃないでしょうか？
では、次は因数分解とは何かを見ていきましょう。

因数分解は「かけ算のカタマリ」を作ること

因数分解とは、多項式（足し算、引き算で項がつながる式）をかけ算だけの式に変形する操作のことです。

たとえば、\((x+1)(x+2)\)を展開すると\(x^2+2x+3\)になります。

だから、逆に

\(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\)

と元に戻すこともできるはずです。

最初は\(x^2+2x+3\)という多項式でしたが、変形して\((x+1)\)、\((x+2)\)という因数のかけ算で表されています。

このように、多項式を因数のかけ算の式に変形することを因数分解と呼んでいるのです。

「\((x+1)(x+2)\)のカッコの中の足し算はいいの？」
と思われる方がいるかもしれません。

結論を言うと、カッコの中は足し算・引き算があっても構いません。

カッコの中はひとかたまりとして見るが数学のルールだからです。
カッコの中が文字と数字で計算できないので、そのまま残っているだけと考えてください。

因数分解って何の役に立つの？

因数分解の目的は、式の見通しをよくすること

\(a+b=0\)と\(ab=0\)という2つの式を考えてみます。

\(a+b=0\)
という式があっても、\(a\)、\(b\)がいくつかはわかりませんが

\(a \times b = 0\)
という式があれば、かけて 0 になる数字は 0 しかないです。
だから、\(a\)、\(b\)のどちらか1つは 0 であるということがわかります。

この比較からもわかる通り、足し算よりかけ算の方が、式を検討しやすいです。
そのため、同じ式でも、足し算のかたちのまま扱うより、かけ算のかたちにした方が、色々なことを考えやすくなるのです。

因数分解とは、式を考えやすくするための整理の方法なんです。

因数分解の問題を解くときの押さえておきたい大まかな方針

因数分解のざっくりしたイメージが掴めたら、次は実際にどういう計算をするのか、イメージを具体的にしていきましょう。

因数分解の武器はたったの5つ！

因数分解で使う公式は、実は次の5つだけです。

• 共通因数でくくる
  \(ma+mb=m(a+b\)
• 和と積の公式
  \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
• 2乗の公式（プラス）
  \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
• 2乗の公式（マイナス）
  \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
• 2乗 − 2乗の公式
  \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)

これらはすべて、以前学習した「展開の公式」の逆の操作を行っています。

展開と因数分解の決定的な違い

「展開」は最悪、公式を忘れても分配法則などの定義通りに計算していけば解くことができました。

でも、「因数分解」は公式を使わずに解く方法がありません。
そのため、因数分解の計算は必ず次の2つのステップで考えます。

1. 「公式が使える形かどうか」の確認
2. 公式に当てはめた実際の計算

因数分解が苦手な人の共通点と効果的な練習方法

因数分解が苦手な多くの人に当てはまるのが、次の2つです。

• 「公式以外に自分の知らない解き方があるのではないか」と思ってしまう
• 「確認」と「計算」を分けずに、1つの作業として処理しようとしてしまう

まず、1つ目ですが、先ほど説明した通り、因数分解には公式以外の解き方はありません。
応用問題でも、結局は基本公式を組み合わせて解いているだけで、何か特別な裏ワザを使っているわけではないのです。

このことを強く意識しておくだけでも無駄な迷いがなくなるので、ぜひ押さえておいてください。

次は2つ目についてです。

作業を1つにまとめてしまう人に共通するのが、最初の「確認」がおざなりになってしまうことです。
そうなると、どの公式を使うか分かっている問題は解けても、どの公式を使うかがわからなくなると、どうしていいかわからなくなってしまいます。

因数分解の苦手から抜け出す近道は、「確認」と「計算」を意識してはっきり分けることです。

普段の演習から、問題ごとに

• 「式のどこを見て（確認）」
• 「どの公式を使おうと思ったか（判断）」

を一つひとつ意識しながら手を動かしていくと、どの公式を使うべきか見抜く力がついていきます。

因数分解の5つの公式の見極めポイントと使い方

ここからは、5つの公式の見極めポイントと使い方をそれぞれ見ていきます。

【共通因数】\(ma+mb=m(a+b)\)

いわゆる「共通因数でくくる」と呼ばれる公式です。

共通因数とは？

共通因数とは、字の通り、全ての項に共通する因数のことです。

因数とはかけ算にしたときの要素のことだったので、ある数は必ずその因数で割り切れます。
だから、2つの数が共通因数を持つかどうかは、2つの数を割り切れる数があるかどうかで見分ければよいです。

たとえば、次のように判断するとよいです。

• \(2x\)と\(4\)
  →どちらも\(2\)で割り切れるので共通因数は\(2\)
• \(ma\)と\(mb\)
  →どちらも\(m\)で割り切れるので共通因数は\(m\)
• \(-2ax\)と\(-6a\)
  →どちらも\(-2a\)で割り切れるので共通因数は\(-2a\)

どうやったら共通因数でくくれる？

共通因数でくくるときは、共通因数をカッコの外に出して、元の数を共通因数で割った結果をカッコの中に残します。

実際に例題で見ていきましょう。

例1：
\(2ax+2a\)の因数分解

\(2ax\)と\(4a\)はどちらも\(2\)で割り切れて、\(a\)を持つので共通因数は\(2a\)

• \(2ax \div 2a = \color{red}{x}\)
• \(2a \div 2a = \color{blue}{1}\)

なので、因数分解すると次の通り

\(2ax+2a= 2a(\color{red}{x}+\color{blue}{1})\)

---

例2：
\(-3x-9\)の因数分解

\(-3x\)と\(-9\)はどちらも\(-3\)で割り切れるので共通因数は\(-3\)

• \(-3x \div (-3) = \color{red}{x}\)
• \(-9 \div (-3) = \color{blue}{3}\)

なので、因数分解すると次の通り

\(-3x-9= -3(\color{red}{x}+\color{blue}{3})\)

共通因数でくくるときによくあるミス

共通因数でくくるときによくあるミスをご紹介します。

途中で因数分解をやめてしまう

例1のような問題で、共通因数を\(a\)と考えて次のように考えるケースです。

• \(2ax+2a= a(2x+2)\)

カッコの中身の\((2x+4)\)が、まだ共通因数\(2\)でくくれます。
こういう解答は、因数分解が不完全とみなされて減点となります。

負の数でくくるときの符号間違い

例2のような問題で、負の数でくくるときの符号間違いです。

負の数でくくったときは、カッコの中の符号も変わりますが、これを変え忘れてしまうことがよくあります。

• \(-3x-9=-3(x-3)\)

展開のときにも多いミスなので、必ず気をつけるようにしてください。

カッコの中身の\(1\)を\(0\)としてしまう

例1のように、カッコの中身を\(1\)とすべきところを\(0\)としてしまうミスです。

• \(2ax+2a= 2ax\)
  （\(2a(x+0\)とみなしている）

割られる数と割る数が同じときの割り算の答えは\(0\)ではなく\(1\)です。

もし間違えたことがあったら、もう一度確認しておいてください。

【和と積の公式】\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

ここでは「和と積の公式」について解説していきます。

和と積の公式を使うかどうかの見極めポイント

\(x^2 \color{blue}{+(a+b)}x \color{red}{+ab}=(x+a)(x+b)\)

定数項がある2数の積（\(\color{red}{+ab}\)）、\(x\)の係数がその2数の和（\(\color{blue}{+(a+b)}\)）になっているときにこの公式が使えます。

「因数分解といえばこれ」みたいな公式で、学習するのも共通因数の後で、公式の中では最初の方に習うので印象に残りやすいのですが、そこが案外落とし穴だったりします。

この公式は、共通因数と同じぐらい適用範囲が広いわりに、使えるかどうかが共通因数ほどわかりやすくありません。

そのため、「この公式が使えるかどうか考える」というよりは、「他の公式がダメだったからこれを使う」ぐらいで判断するのがよいです。

具体例で因数分解の和と積の公式を確認してみよう

例1：
\(x^2+4x+3\)

\(x^2\color{blue}{+4}x \color{red}{+3}\)

\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)

---

例2：
\(x^2-6x+8\)

\(x^2\color{blue}{-6}x \color{red}{+8}\)

\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\)

---

例3：
\(x^2-2x-24\)

\(x^2\color{blue}{-2}x \color{red}{-24}\)

\(x^2-2x-24=(x+4)(x-6)\)

【2乗の公式】\(x^2 \pm 2ax + a^2 = (x \pm a)^2\)

式が\(x^2+◯x+△\)になっていて、和と積の公式と同じの形をしていますが、和と積の公式よりもかなり見分けやすいです。

ポイントは、「定数項⇒\(x\)の係数」の順で確認することです。

2乗の公式を使うかどうかの見極めポイント

\(x^2 \color{blue}{\pm 2a}x \color{red}{+a^2} = (x \pm a)^2\)

真ん中の符号がプラス、マイナスどちらの場合も、使えるかどうかの見極め方は同じです。

定数項がある数の2乗（\(\color{red}{+a^2}\)）、\(x\)の係数がその数を2乗する前の数（平方根）の2倍（\(\color{blue}{\pm 2a}\)）になっているときにこの公式が使えます。

順番としては次の通り考えれば大丈夫です。

1. 定数項が2乗の数字（\(1,4,9,16,25,36,49…\)か
2. \(x\)の係数が定数項を2乗する前の数（平方根）の2倍か
   • 定数項\(25\)：\(5\)の2乗
     ⇒定数項が\(2 \times 5 = 10\)ならOK
   • 定数項\(49\)：\(7\)の2乗
     ⇒定数項が\(2 \times 7 = 14\)ならOK

具体例で因数分解の2乗の公式を確認

例1：
\(x^2+12x+36\)の因数分解

\(x^2 \color{blue}{+12}x \color{red}{+36}\)

\(x^2+12x+36=(x+6)^2\)

---

例2：
\(x^2-4x+4\)の因数分解

\(x^2\color{blue}{-4}x \color{red}{+4}\)

\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)

2乗の公式を使うときの注意点

定数項が2乗の数のときに、必ずしも2乗の公式が使えるわけではありません。

たとえば、次の式では、

\(x^2-10x+16\)

• 定数項：\(16\)
  \( \rightarrow 4\)の2乗
• \(x\)の係数：\(-10\)
  \( \rightarrow (-10)=2 \times (-5)\)

となっており、\(x\)の係数が\(4\)の2倍になっていないため、2乗の公式は使えません。

実際、この式は和と積の公式を使って次のように因数分解します。

\(x^2-10x+16=(x-2)(x-8)\)

定数項が2乗の数だからと、すぐに2乗の公式を使わず、\(x\)の係数を必ず確認してください。

【2乗－2乗の公式】\(x^2-a-2=(x+a)(x-a)\)

この公式は、公式自体は難しくないですが、いろいろな公式が混ざったときに見落としやすいのが特徴です。

「2乗－2乗の公式」が使えるかどうかの見極めポイント

元の式の項が2つしかないのは、共通因数でくくる形か、この公式だけです。
そのため、項が2つで、共通因数でくくれないとわかった時点で、この公式を思い浮かべてください。

2乗－2乗の公式を具体例で見てみよう

例：
\(x^2-49\)

• 前の数字
  \(x^2\)：\(x\)の2乗
• 後ろの数字
  \(49\)：\(7^2\)
• 計算の確認
  計算はひき算

よって

\(x^2-49=(x+7)(x-7)\)

因数分解の和と積の公式で効率よく2数を探すコツ

和と積の公式で一番困るのが、最初に候補を上げるときに、数え漏らしをしてしまうことです。

そのため、候補を絞る段階では符号を無視して数字のペアだけを考えて、数字のペアが決まってから符号を考えるように分けると、候補の絞り込みが楽になります。

言葉だと少しわかりにくいと思うので、実際の例題で確認してみましょう。

和と積の公式のコツを具体例で確認してみよう

例1：
\(x^2-17x+72\)

\(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\)

---

例2：
\(x^2-x-72\)の因数分解

---

【4ステップ】因数分解の公式はどの順番で考えればいい？

「公式別の練習なら解けるのに、テストでいろいろな問題が混ざると急に解けなくなる…」
そう悩む人はとても多いです。

原因はとてもシンプルで、「判断する順番」が決まっていないからです。

テスト中は考えることが山ほどあります。
だからこそ、「考えなくていいことは考えない仕組み（手順）」をあらかじめ作っておくことが、ミスを減らして、スピードを上げる最大のコツです。

因数分解の公式の選び方、各ステップの解説

基本的には、「簡単に判断できるもの」を前に持ってきています。

最初にもお伝えしましたが、因数分解は公式以外では解けません。
だから、5つのうちのどれが使えるかを消去法で考えていくのが効率的です。

そして、思考の消去法における基本ルールは、「検証（チェック）が楽なものから順番に切っていくこと」です。

1. 一瞬で見分けがつく「軽い判定」を先に終わらせて選択肢を絞る
2. 最後に残った「処理が重い確認」に、脳の集中力を100%注ぎ込む

この順番を守るだけで、無駄なフリーズや見落としがなくなり、スムーズに問題が解けるようになります。

具体的には次のように確認していってください。

【因数分解】基本公式の練習問題

因数分解は、公式通り処理する力と、公式を選ぶ力が必要です。

そのため、次のように段階を踏んで練習すると、効果的に学習を進めることができます。

1. 各公式の処理に慣れる
2. 公式の見極めに慣れる
3. 「見極め＋処理」の一括の操作に慣れる

ここから紹介する10問を使って、まずは「①どの公式を使うか」だけをサクサク判定し、そのあとで「②最後まで計算する」という2ステップで挑戦してみてください！

おわりに

因数分解は、式を「かけ算のカタマリ」にして見通しをよくするための大切な整理手法です。テストでスムーズに解くための最大のコツは、「確認（見極め）」と「計算」をしっかり分けて処理すること。そして、確認が楽な公式から順番にチェックしていくことです。この判断手順が身につけば、どんな応用問題に出会っても焦らず冷静に対処できるようになります。まずは基本の思考パターンを手に馴染ませていきましょう。