「関数のグラフって、そもそも何だろう？」
そう聞かれると、意外とすぐには答えにくいかもしれません。
何となくグラフを描ける人でも、実は、「グラフの意味」をしっかり理解していないことがよくあります。
でも、実はグラフの意味を理解しておくと、関数全体の理解がぐっと深まります。
たとえば、グラフ上の点の求め方・交点・変域など、関数のさまざまな内容が「ひとつの流れ」として見えてきます。
この記事では、比例を例に使いながら、その土台となる「グラフとは何か」をていねいに説明します。
関数のグラフの意味
比例のグラフで具体的に見てみよう
グラフは、関数の式を満たす点を座標にとっていったものです。
関数の式を満たす点が無数につながって線になっているのです。
言葉だけではどういうことかわかりづらいと思うので、実際の関数で考えてみます。
\(y=2x\)という比例の式を考えます。
この式で、\(x\)の値をいくつか決めて\(y\)の値を求めると、次のような表が作れます。
| \(x\) | －3 | －2 | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | －6 | －4 | －2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
次に、この表の\(x\)と\(y\)を、グラフ用紙にとります。
\(x\)の値は整数に限りません。
たとえば、\(x\)=0と\(x\)=1の間にも、無数の値が存在します。
また、この式では、\(x\)が1増えると\(y\)は2ずつ増えるという一定の割合で変化しています。
そのため、\(x\)の値を細かく変えていくと、無数の点をとることができます。
点の間隔が狭くなりました。
この隙間にも点はあるはずで、それらの点をどんどん取っていくとやがて線になります。
このようにできた図を、関数のグラフと呼んでいます。
まとめると、関数の式を満たす\(x\)と\(y\)の組をいくつもとり、それらの点を線で結んだものがグラフです。
つまり、グラフは関数の式を満たす点の集まりということです。
比例のグラフで考えましたが、どんな関数のグラフも「式を満たす点の集まり」ということに変わりはありません。
グラフ上の点の求め方
具体例で確認してみよう
グラフは関数の式を満たす点の集まりです。
だから、グラフ上の点を知りたいときは、関数の式に値を代入すればグラフ上の点を計算することができます。
たとえば、関数\(y=2x\)のグラフで
\(x=3\)のときの\(y\)座標は、
関数の式\(y=2x\)に\(x=3\)を代入して
\(y=2 \times 3 \\ y=6\)
と計算できます。
また、\(y=-4\)のときの\(x\)座標は、
関数の式\(y=2x\)に\(y=-4\)を代入して
\(-4=2x \\x =-2\)
と計算できます。
グラフを「点の集まり」として見ると何がわかるか
たとえば、ほんの一例ですが、次の内容はすべてグラフは関数の式を満たす点の集まりというい考えでつながっています。
- グラフ上の点を求めるときは、その関数の式を満たす点を1つ見つけていること
- 交点を求めるときは、2つの式を同時に満たす点を探していること
- 変域を考えるときは、\(x\)が動くときに点がどんな\(y\)の値をとるかを見ていること
グラフの意味がわかるようになると、これらの関数のいろいろな単元が“ひとつの流れ”として見えてきます
今回はここまでです！
「グラフ＝点の集まり」という見方を意識するだけで、関数の見え方がけっこう変わってきますよ。
交点や変域の話もこの考え方がベースになるので、ぜひ頭の片隅に置いておいてください。
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