「変域って、式に代入して不等号でつなぐだけでしょ？」
そんなこと思ってないですか？
二次関数の変域は、定期テストでもほぼ毎回出題される重要な単元です。
ぼくが担当した中では、ここが出題されない二次関数の定期テストを見たことはありません。
しかし、「とりあえず端を代入してつなぐ」で解いてしまい、間違える人がとても多いところでもあります。
一次関数の変域の場合は、\(x\)の変域の端を関数の式に代入して不等号でつなぐだけでも\(y\)の変域を求めることができましたが、二次関数ではそうもいかないのです。
この記事では、グラフを使った二次関数の変域の考え方を4ステップで、図解を交えながら解説します。
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一次関数でも出てきた、変化の割合についてまとめました。
変化の割合の意味、一般的な求め方に加えて、\(y=ax^2\)の変化の割合を求めるときだけに使える裏技も紹介しています。
変化の割合は、最初は少しハードルが高いですが、慣れると得点源にしやすい範囲です。
ぜひ、読んでみて、変化の割合の考え方を身に付けてください。
👉二次関数の変化の割合を3ステップで攻略！計算の裏技も解説【中3数学】 - 変域って何だっけと思った方はこちら
変域とは何か、グラフにおける変域の意味など、今回の求め方や、なぜその求め方で求められるのかについて基本から詳しく解説しています。
基本から知りたい方や、根拠を知りたい方はこちらの記事をお読みください。
👉変域の求め方：迷わず求められるようになる基本の考え方
二次関数の変域はどうやって求めたらいいの？
一般的な変域の問題は、次の通りです。
関数の式と\(x\)の変域が与えられる
⇒\(y\)の変域を求める
このような問題では、有効な範囲のグラフを描き、そのグラフの\(y\)座標が一番上と下になるときの\(x\)座標を読み取るのが基本的な解法の流れです。
具体的には、次の4ステップで考えると、有効な部分が整理しやすくなります。
次から、具体的にどう考えていけばよいかを、例題で解説していきます。
【4ステップ】\(y\)の変域の求め方を図解を用いて解説
例題1
\(y=2x^2\)において、\(x\)の変域が\(1 ≦ x ≦ 2\)のとき\(y\)の変域を求めなさい。
【解説】
①\(y=2x^2\)のグラフを点線で描きます。
グラフはフリーハンドでいいですよ。
②\(x\)の範囲\(1≦x≦2\)をグラフ上にとります。
③グラフの\(1≦x≦2\)の範囲に入っている部分だけ太くします。
④その部分の「一番上と下」になるときの\(x\)の値を読みます。
グラフから、
\(x=1\)のとき\(y\)が最小
\(x=2\)のとき\(y\)が最大
とわかります。
今回のように座標から読み取れるときは、点を読めばよいです。
また、座標がわからない場合は、\(x=1,2\)をそれぞれ元の式\(y=2x^2\)に代入して
\(x=1\)のとき\(y=2 \times 1^2 =2\)
\(x=2\)のとき\(y=2 \times 2^2 =8\)
と求められます。
よって、\(y\)の変域は
\(2≦y≦8\)
こういう問題だけだと、正直一次関数のときとあまり変わりません。
二次関数に特徴的な問題は次の例題2のような場合です。
例題2
\(y=x^2\)において、\(x\)の変域が\(-1 ≦ x ≦ 2\)のとき\(y\)の変域を求めなさい。
【解説】
この問題を見て、次のように解答してしまうのが、定番のミスです。
\(x=-1\)のとき\(y=(-1)^2=1\)
\(x=2\)のとき\(y=2^2=4\)
よって、\(1≦x≦4\)
なぜ、この解答が違うのか、グラフを見ながら考えていきます。
①\(y=x^2\)のグラフを点線で描きます。
②\(x\)の範囲\(-1≦x≦2\)をグラフ上にとります。
③グラフの\(1≦x≦2\)の範囲に入っている部分だけ太くします。
④その部分の「一番上と下」になるときの\(x\)の値を読みます。
グラフから、
\(x=0\)のとき\(y\)が最小
\(x=2\)のとき\(y\)が最大
とわかります。
\(x=0\)のとき\(y=\times 0^2 =0\)
\(x=2\)のとき\(y=\times 2^2 =4\)
と求められるので、\(y\)の変域は
\(0≦y≦4\)
変域の中での\(y\)の値は、次のように変化します。
\(x=-1\)から\(x=0\)⇒減少
\(x=0\)から\(x=2\)⇒増加
そのため、\(y\)は\(x=-1\)のときではなく、\(x=0\)のときにが最小となるのです。
一次関数は、\(y\)が常に増えるか、減るかだけの関数だったのでこのようなことは起こりませんでした。
しかし、二次関数は\(y\)が増える区間と減る区間のどちらもあるため、\(y\)の変域の取り扱いに注意が必要になってくるのです。
パターン暗記では解けないの？
正直なところ、中学校の数学までなら、グラフを描かなくても「パターンの暗記」だけで乗り切ることも可能です。
いくつか問題を解くと見えてくると思いますが、上が凸の場合であれば、次のようにパターン分けすることができます。
- 変域が\(0\)をまたぐとき
（変域：負の数≦\(x\)≦正の数)
⇒最小が\(0\)、最大は変域の端のうち\(0\)から遠い方 - 変域が\(0\)をまたがないとき
（変域：負の数≦\(x\)≦負の数、正の数≦\(x\)≦正の数)
⇒最大、最小ともに変域の端（一次関数と同じ）
ただ、パターンを暗記する方法は、まったくおすすめしません。
理由は、高校以降の数学でもパターン暗記を続けようとすると、確実に行き詰まってしまうからです。
扱う関数の種類が増え、形も複雑になるため、暗記すべきパターンが膨大になってしまうのです。
一方、グラフから最大・最小を読み取る力は、高校以降、どんな関数が出てきても必ず通用します。
慣れるまでは確かに大変なのですが、慣れてしまえばグラフを手描きで描いて、最大・最小を読み取る作業は10秒もかかりません。
この先への投資と思って、パターン暗記には頼らず、グラフから最大・最小を読み取る力を養うことをおすすめします。
おわりに
おつかれさまでした。
「わざわざグラフを描くのは面倒くさい……」
最初は、そう思うかもしれません。
でも、二次関数の変域で一番大切なのは「\(y\)が一番高くなるところと、低くなるところを視覚的に見つけること」です。
正直、慣れると数秒で終わる作業になります。
また、グラフから最大・最小を見つけられる力は、高校になって、他の関数を習っても必ず生きてきます。
しっかりトレーニングをして、この先でも役立つグラフを読む力を身につけてください。
がんばってください。
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変域の問題には、実は大きく分けて6つの形があります。
もちろん、今回紹介した4ステップの解き方ですべて解くことができます。
全パターンを網羅して、テストで「見たことがない問題」をゼロにしませんか？
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変域の求め方の手順が、どういう根拠からきているのかについて解説しています。
関数が変わっても変域の求め方自体は変わりません。
考え方と、手順をセットで押さえておくと、他の関数にも生きる知識になります。
変域の求め方の手順を理解できたら、ぜひチャレンジしてみてください。
👉変域の求め方：迷わず求められるようになる基本の考え方 - 一次関数の変域の解き方を確認したい方はこちら
今回ご紹介した、グラフを描いて考える解き方は、二次関数専用ではなく、むしろ全ての関数に使える基本の解き方です。
中学校2年生で習った一次関数の変域を、グラフを使って考えるとどうなるのかを振り返っておくと、理解が深まり、受験勉強でも抜けにくい知識になります。
この機会にぜひ復習してみてください。
👉一次関数の変域｜確実に得点するグラフ活用テクニック【中2数学】
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