何となく、「交点の求め方は連立」とだけ覚えて終わってしまう人も多いところですが、
根拠から理解できると、関数への理解がぐっと深まります。

この記事では、なぜグラフの式を連立させると交点を求められるのかの根拠について、
交点の意味、連立方程式の意味から具体例を用いて解説していきます。

なぜ交点は式を連立させると求められるの？

交点の座標と連立方程式の解は同じ意味だから

交点、連立方程式の意味から「交点⇒連立」の根拠を考える

グラフと交点の意味

グラフは、関数の式を満たす点の集まりです。
だから、グラフ上の点の座標は、必ずそのグラフの式を満たします。

また、交点は2つのグラフ上で重なっている点のことです。
だから交点はの座標は、それぞれの関数の式を満たします。

たとえば、次の2式の交点を考えます。

\(y=2x+1\)…①
\(y=-x-5\)…②

このグラフの交点は\((-2,-3)\)ですが、
それぞれの式に\(x=-2,y=-3\)を代入すると

①の式は
\(y=2x+1 \\ -3 = 2 \times (-2) + 1 \\ -3 = -3\)
②の式は
\(y=-x-5 \\ -3 = -(-2)-3 \\ -3 = -3\)

となり、交点の座標どちらの式も満たしていることがわかります。

連立方程式の意味

解き方が複雑なので意味を忘れがちかもしれませんが、
連立方程式は、そもそも「2式を同時に満たす\(x,y\)を求めるための解き方」です。

加減法、代入法のどちらも、
「\(x,y\)はどちらの式でも共通の値である」
という前提で成り立っています。

たとえば、次のような連立方程式では、

\(2x+3y=1\)…①
\(x+3y=-2\)…②

①－②を計算して

\(x=3\)

のように計算をすると思います。
この計算では、\(x,y\)の項について

\(2x-x=x\)
\(3y-3y=0\)

と計算していますが、もし\(x,y\)が①、②の式でそれぞれ違う値であれば、
このような計算が成り立たなくなるのです。

代入方も同じで、次のような方程式で

\(y=2x-1\)…①
\(3x+2y=1\)…②

①を②に代入して

\(3x+2(2x-1)=1\)

と計算しますが、この計算も①と②の\(y\)が違う値であれば成り立ちません。

だから交点は連立方程式で求められる

ここまでで見た通り、連立方程式の解は2式を同時に満たす\(x,y\)になっているのです。

まとめると、交点の座標、連立方程式の解の意味は次のようになり、
同じものであるということがわかります。

• 交点の座標：2式を同時に満たす\(x,y\)
• 連立方程式の解：2式を同時に満たす\(x,y\)

だから、交点を求めたいときは、連立させてその解を求めるのです。

一次関数以外への適用：「交点⇒連立」はすべての関数に通じる

先ほどの説明は、すべて一次関数を例にしましたが、
交点の座標の意味、連立方程式の意味は、一次関数以外の関数であっても変わりません。

また、中学校2年生の段階では、二元一次方程式の連立方程式しか扱っていませんが、
学習が進むと、どんな方程式でも連立させて解く機会があります。

つまり、一次関数以外の関数でも、交点を求めたいときは連立させて解けばよいということになります。

たとえば、中学校3年生では

\(y=x^2\)…①
\(y=x+2\)…②

の交点を求める機会がありますが、これも連立させて解きます。

①を②に代入して

\(x^2=x+2 \\ x^2-x-2=0\)

ここから二次方程式として解いて、交点を求めます。
（二次方程式の解き方も中学校3年生で習います）

根拠からしっかりわかって「交点⇒連立」と押さえておくと、すべての関数に役立つ知識にするこおとができるのです。

おわりに

この記事では、交点を求めるときに式を連立させる根拠について解説しました。

• グラフは式を満たす点のあつまりである
• 交点が2式を同時に満たす点である
• 連立方程式が2式に共通する\(x,y\)を求める計算方法である

という、3つの基本をしっかり押さえると、その根拠が見えてきます。

根拠からしっかり押さえると、他の関数にも応用することができます。
どんな関数を学習していても、交点を求める機会は必ずあります。

ここがわかると、関数の理解がぐっと進むので、しっかりがんばってください。

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中学校の数学で大きな山場となる「二次関数」。
実は、一次関数との違いを正しく理解するだけで、この先の学習がぐっと楽になります。

この記事では、二次関数の正体から、みんながひっかかりやすい「文字\(a\)の意味の違い」まで、中学生が間違えやすいポイントを絞って解説します。
この記事を読み終える頃には、二次関数の式の形がしっくりきているはずですよ！

二次関数って何？

中学校では、二次関数のうち\(x=0,y=0\)を満たす、「\(x\)の2乗に比例する関数」のみを学習します。

二次関数を具体例で見てみよう

1辺が\(x\)㎝の正方形の面積を\(y\)㎠とします。

今、\(x\)と\(y\)の関係を表で表すと次のようになります。

この表では、\(x\)の値が\(2\)倍、\(3\)倍、…と増えていくと、
\(y\)の値が\(2^2\)倍、\(3^2\)倍と増えていっていることがわかります。

このような関数を、「\(y\)が\(x\)の2乗に比例する」と呼びます。

正方形の1辺の長さと面積の関係を式で表してみよう

正方形の面積は、

\(\text{(正方形の面積)}= \text{(1辺の長さ)} \times \text{(1辺の長さ)}\)

と計算できるので、\(y\)は\(x\)をつかって次のように表すことができます。

\(y=x \times x\)
\(y=x^2\)…①

このとき、式①で\(y\)は\(x\)の2次式で表されています。
このような関数を二次関数と呼びます。

また、二次関数のうち\(y=ax^2\)のかたちで表される関数を、
「\(y\)が\(x\)の2乗に比例する」と呼んでいるのです。

一次関数の\(a\)と、二次関数の\(a\)は関係あるの？

一次関数の\(a\)の意味

たとえば、\(y=2x+1\)という一次関数を考えます。
この式では、\(x\)の係数の2が\(a\)に該当します。

この式に、\(x=-2,-1,0,1,2\)と代入した表を作ります。

表を見るとわかりますが、\(x\)が1増加するごとに\(y\)が2ずつ増加しています。

\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合、
つまり\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量のことを変化の割合と呼んでいたので、
このときの2は変化の割合であるということがわかります。

つまり、\(y=ax+b\)の\(a\)は、変化の割合を表しているのです。

また、これをグラフに書くと、「\(x\)が1増加するごとに\(y\)が2増加」という一定の割合で\(y\)の値が変化していくため、グラフは直線になりました。

このときの2のことをグラフの傾きとも呼びます。

二次関数の\(a\)は一次関数の\(a\)とはどう違うの？

次は、\(y=2x^2\)という二次関数を考えます。
先ほどと同様に、\(x=-2,-1,0,1,2\)と代入した表を作ります。

先ほどとは違い、
\(x<0\)の範囲では、\(x\)が増加するにつれて\(y\)は減少、
\(x>0\)の範囲では、\(x\)が増加するにつれて\(y\)は増加しており、
変化の幅も一定ではありません。

つまり、二次関数の場合\(a\)は変化の割合ではないのです。

また、\(x\)の増加に対して\(y\)の増加が一定ではないため、
グラフは直線にはなりません。
そのため、二次関数のグラフに傾きなんて存在せず、
当然、\(a\)はグラフの傾きを表しているわけではないのです。

グラフの話はまた別記事でまとめますが、
二次関数の場合、\(a\)はグラフの開き具合として現れます。

ちょっと先の話になりますが、高校の数学で

二次関数を式で表すとき
⇒\(y=ax^2+bx+c\)

三次関数を式で表すとき
⇒\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)

とおくことがあります。
見てもらえばわかる通り、次数の高い方から\(a,b,c,…\)と文字を割り当てているだけです。

文字の種類にはその程度の意味しかありません。

おわりに

二次関数の式\(y=ax^2\)に出てくる\(a\)は、一次関数のときのように「傾き」や「変化の割合」とは呼びません。

• 一次関数の\(a\)
  グラフの傾き、変化の割合（いつも一定）
• 二次関数の\(a\)
  グラフの開き具合（変化の割合はバラバラ！）

この違いを理解しておくだけで、これから習う「グラフ」や「変化の割合」の計算で迷子になる確率がグンと下がります。

がんばってください。

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「$-3^2$ と $(-3)^2$、どっちがどっちだっけ？」

そんな悩み、ありませんか？

二次関数は「2乗」が入るだけで、計算の落とし穴が一気に増えます。

この記事では、テストで狙われる「計算ミスの原因」をスッキリ整理。
ミスをゼロにする途中式の書き方から、実は一次関数より簡単な「式の求め方」まで、ポイントを絞って解説します。

この記事を読み終える頃には、自信を持って計算問題に取り組めるようになっているはずです！

二次関数の式で、\(x,y\)はどうやって計算したらいい？

二次関数に限らず、\(x,y\)を求めたいときは、関数の式に\(x,y\)の値のうちわかっている方を代入すると求められます。

ここからは、\(y=3x^2\)を例にして、二次関数の場合の代入の仕方や注意点を見ていきます。

\(x\)の計算を具体例で見てみよう

二次関数\(y=3x^2\)で、\(x=2\)のときの\(y\)の値は

\(y=3\times(2)^2 \\y=3 \times 4 \\ y = 12\)

と計算できます。

また、\(x=-3\)のときの\(y\)の値は

\(y=3\times(-3)^2 \\y=3 \times 9 \\ y = 27\)

と計算することができます。

\(y\)の計算を具体例で見てみよう

二次関数\(y=3x^2\)で、\(y=27\)のときの\(y\)の値は

\(27=3x^2 \\x^2=9 \\ x = \pm 3\)

と計算することができます。

これまでの関数では、「\(x\)を決めれば\(y\)が1つに決まる」だけでなく、
「\(y\)を決めても\(x\)が1つに決まる」のが普通でした。
しかし、二次関数は違います。「1つの\(y\)に対して、2つの\(x\)が対応する」 のです。

ここを押さえておくと、グラフの学習をしたときにイメージしやすくなるので、
一つポイントとして意識しておいてください。

よくある計算ミスとその対策

この範囲では、2乗の計算ミスが多いです。

• 指数の計算順序を間違える
• \(x\)の値を2乗するのを忘れる、または2倍してしまう
• 負の数の2乗で符号を間違える

計算ミスをなくすためには、
普段の練習で、途中計算を書いて練習していくのが一番です。

それぞれのミスについて見ていくので、当てはまるものがあったら、気を付けて練習するようにしてください。

指数の計算順序を間違える

指数がある場合は、まず指数から処理するのが鉄則です。
たとえば、\(y=3 \times 2^2\)であれば、

\(y=3 \times 2^2 \\ y=3 \times 4\)

と計算するか

\(y=3 \times 2^2 \\ y= 3 \times (2 \times 2)\)

のように、指数をかけ算の形に直してしまうかのどちらかが、正しい計算方法です。
しかし、この計算で、

\(y= 3\times 2^2\) \\ y =6^2\)

のように、先に3×2を計算してしまう人をときどき見かけます。
これは間違った計算方法です。

計算練習を始める前に、まず「指数を先に計算」ということを意識してから、練習に取り組むようにするとよいです。

\(x\)の値を2乗するのを忘れる、または2倍してしまう

これもありがちなミスです。
たとえば、\(y=3 \times 4^2\)であれば、

\(y=3 \times 4^2 \\ y = 3 \times 16\)

と計算するところを

• 2乗忘れ
  \(y=3 \times 4^2 \\ y = 3 \times 4\)
• 2倍してしまう
  \(y=3 \times 4^2 \\ y = 3 \times 8\)

のように計算してしまうようなミスです。

この手のミスをしがちな方は、計算内容がわかるように、
2乗の部分をかけ算の形に直した形を途中式で書いて練習するといいです。

\(y=3\times 4^2 \)
\(y=3 \times (4\times 4)\)
\\ y = 48\)

負の数の2乗で符号を間違える

これが一番多いミスじゃないかなと思います。
2乗しても負の数のままにしてしまうミスです。

負の数の2乗で符号を間違える方は、
代入するときにカッコをつけるといいです。

\(y=3\times(-3)^2 \)
\(y=3 \times (-3) \times (-3\) \)
\(y=3 \times 9\)
\(y = 27\)

ミスをなくすためには、
何が原因でミスをするのかを理解して、
ミスが見えやすい形にすることが第一歩です。
なぜ間違いが起こるのか、考える習慣をつけましょう。

二次関数の式はどうやったら求められる？

二次関数の式の求め方を具体例で見てみよう

どんな関数でも、関数の式は次の手順で求められます。

1. 関数の式を一般形でおく
2. 与えられた\(x,y\)を代入して方程式を解く
3. 求めた文字を、元の式に代入する

中学校範囲で学習する二次関数（\(y\)が\(x\)の2乗に比例する）の一般形は\(y=ax^2\)なので、
\(y=ax^2\)とおいて、条件から\(a\)を求めれば、二次関数の式を求めることができるのです。

たとえば、\(y\)は\(x\)の2乗に比例して、\(x=2,y=1\)のときの関数の式は次のように求められます。

• \(y=ax^2\)…①とおくと
• \(x=2,y=1\)を①に代入して
  \(1=4a \\ \displaystyle a= \frac{1}{4}\)
• 求めた\(a\)の値を、①に代入すると
  \(\displaystyle y = \frac{1}{4}x^2\)

よって、二次関数の式は\(\displaystyle y = \frac{1}{4}x^2\)と求められます。

式の求め方に関していえば、二次関数より一次関数の方がパターンが多く（（\(a,b\)の2種類文字をおいているから）難しいです。
一次関数で苦手意識がある方もいるかもしれませんが、構えなくても大丈夫です。

おわりに

お疲れ様でした！
二次関数の「代入」と「式の決定」、コツは掴めたでしょうか？

今回のポイントを復習しましょう。

• 2乗は掛け算よりも先に計算する
• 負の数を代入するときはカッコを忘れずに！
• \(y\)から\(x\)を出すときは\(\pm\)のセットを意識する！

二次関数の計算は、慣れてしまえば一次関数よりもパターンが少なく、得点源にしやすい単元です。
「ミスしやすい場所」が自分でわかっていれば、もうテストは怖くありません。

がんばってください。

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二次関数のグラフは、噴水のような不思議なカーブを描きます。
この記事では、実際に計算して点を打ちながら、グラフの正体である「放物線」の特徴を一つずつ紐解いていきます。
これを読み終える頃には、グラフの形が頭にパッと浮かぶようになりますよ！

二次関数のグラフってどんなグラフ？

そもそもグラフって何？

グラフとは、式のルール（関数）に当てはまる\(x\)と\(y\)のペアを、無数に打ってできた「点の集合」です。
そのため、関数のグラフ上の点は、全て関数の式を満たします。

たとえば、二次関数

\(y=x^2\)

を考えます。

\(x=1,y=1\)の組み合わせは、この関数の式に当てはまります。
そのため、\(y=x^2\)のグラフは、点\((1,1)\)を通るように描きます。

このように、式に当てはまる\(x,y\)の組み合わせを無数に打っていくとグラフになるのです。

それでは、ここから実際に\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)で、グラフの形を考えてみましょう。

\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフで考えてみよう

\(y=x^2\)のグラフ

まず、\(y=x^2\)に、\(x=0, \pm 0.5,\pm1,\pm2,\pm3\)を代入して表をつくります。

ここで、注目してほしいことが2つあります。

• \(x\)が\(0→0.5\)のときよりも、\(2→3\)のように、\(x\)の値が大きくなるほど、\(y\)の増え方が大きくなる
• \(x=1,-1\)のときの\(y=1\)、\(x=2,-2\)のときの\(y=4\)のように、\(x\)の値の、数字が同じで符号が違うもの同士の対応する\(y\)の値は等しい

これらを踏まえた上で、点をグラフ用紙にとって、グラフを描いて見ていきたいと思います。

まず、表で計算した点をとると次のようになります。

もちろん、この表で計算した値以外にも、\(y=x^2\)を満たす\(x,y\)は存在します。
そのため、今とった点の間には、次の図のように無数の点があります。

これらを線でつないでできるのが、二次関数のグラフです。

先ほど見た通り、\(x\)の値が小さいときは\(y\)の変化幅が小さいですが、\(x\)の値が大きくなるにつれ、\(y\)の変化幅が大きくなっていることがわかります。
また、原点付近での\(x\)の変化幅はほとんどなく、原点を境に\(y\)の値が減少から増加に転じています。
このような、二次関数の減少から増加（または増加から減少）に転じる点を、頂点と呼びます。
\(y=ax^2\)のグラフでは、原点が頂点になります。

また、\(x= \pm1,\pm2,\pm3\)のときの\y\)の値が同じで、それぞれ\(y\)軸で折り返したときにぴったりと重なることがわかります。

これは、グラフ上の原点以外の点について言えることです。
そのため、二次関数のグラフは\(y\)軸で折ったときにぴったり重なる、つまり\(y\)軸に関して線対称な図形になっているのです。

また、完成したグラフはグラフは下側に出っ張って、上側に開いた形になります。
このような形を「下に凸」と呼びます。

\(y=ax^2\)のグラフで、\(a＞0\)のときは、同様にグラフは「下に凸」になります。

グラフが\(x\)軸より上にあるので、うっかりこれを「上に凸」と間違える人がときどきいます。
「凸」は出っ張るという意味なので、「どっちに向かって出っ張っているか」で考えてくださいね。

\(y=-x^2\)のグラフ

\(y=-x^2\)のグラフも同様に考えます。

これも、同じようにしてグラフを描くことができ、次のようなグラフになります。

\(y=-x^2\)のグラフも同様に、\(y\)軸に関して線対称です。

そして、完成したグラフは、上側に出っ張って、下側に開いた形になります。
このような形を「上に凸」と呼びます。

\(y=ax^2\)のグラフで、\(a＜0\)のときは、同様にグラフは「上に凸」になります。

「下に凸」と「上に凸」で迷ったら、「出っ張っている（尖っている）方がどっちを向いているか」だけを見てください。
\(x\)軸より上か下かは関係ありません。

また、二次関数のグラフは、物を投げたときと同じ軌道になっています。
そのため、二次関数のグラフのことを「放物線」とも呼びます。

物を投げたときの軌道は、\(a\)が負のときのグラフの形をしています。
ただ、だからと言って\(a\)が負のときのグラフを放物線と呼ぶのではなく、\(a\)が正のときも含めて、二次関数のグラフ全てをまとめて放物線と呼びます。

おわりに

お疲れさまでした。
二次関数のグラフは、いかがでしたか？

「グラフ」と聞くと苦手意識を出す人も多いですが、実はたった一つの式を満たす「点の集まり」に過ぎません。
そして、それは二次関数のグラフでも同じことです。

二次関数のグラフは、一次関数のように直線ではないため、最初は少し戸惑うと思います。
大事なのは

• \(x\)が小さいときは微増、微減、\(x\)が大きくなるにつれて変化幅が大きくなる
• \(y\)軸に関して左右対称
• 原点（頂点）で増加、減少が入れ替わる

という特徴を捉えられるかどうかです。
この点を意識しながら、少しずつ慣れていけば、必ず読めるようになります。

がんばってください。

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でも、コツはたったの2つ。
「整数の点をとる」ことと、「滑らかにつなぐ」ことだけ！
この記事を読めば、5分できれいな放物線が描けるようになります。

さっそく、一番かんたんな描き方をマスターしましょう！

二次関数のグラフってどうやって描いたらいい？

二次関数\(y=ax^2\)のグラフは、次の手順で描くことができます。

二次関数のグラフは直線ではないため、一次関数のように「2点だけとってグラフを描く」というようなことはできません。

そのため、通る点をとって滑らかにつないでグラフを描きます。
ここから、\(y=2x^2\)のグラフを例に、各手順について詳しく見ていきます。

ステップ1：整数の点をとる

まずは整数の点\(x, y\)をとります。
慣れないうちは表を作ると整理しやすいです。

\(y=2x^2\)であれば、次のように表を埋めていきます。

今回は、\(a\)（比例定数）が整数なので、\(x\)は小さい順に整数を代入していけばいいので、
\(x=0, \pm 1, \pm 2,…\)と埋めていきます。

グラフ用紙内にある整数の点は全部計算して点を打ってください。
定期テストでは、\(y\)座標が－10～10の範囲内の用紙が多いので、
\(y\)の絶対値が10以内のものを計算すれば大丈夫です。

計算できたら、グラフ用紙に正確に打ちます。

\(a\)の値が分数のときは、\(y\)の値を整数にするためには\(a\)の分母を消さなければいけません。
そのため、\(x\)の値は、\(a\)の分母の倍数だけを考えていけばいいです。

ステップ2：滑らかな曲線でつなぐ（仕上げ）

打った点を通るように、フリーハンドで滑らかな曲線を引きます。
そのとき、以下の点を意識すると書きやすいです。

• 一筆書きにこだわらない：
  「頂点（原点）から右上」に、次に「頂点から左上」に、と
  2回に分けて外側に向かって描くと形が整いやすいです。
• 「U字」を意識:：
  原点付近はカクッとさせず、少し丸みを持たせます。
• 端まで描く:
  最初にとった、整数の点の最後の点で止まってしまう人がときどきいます。
  そこを通り過ぎて、グラフ用紙の端（枠線の際）まで線を伸ばしましょう。

二次関数のグラフは、物を投げたときの落下の軌道と同じになります。
そのため、二次関数のグラフは「放物線」とも呼ばれます。

二次関数のグラフは、ボールを投げたときの軌道と同じ形をしています。
だから、数学ではこのカーブを 「放物線（ほうぶつせん）」 と呼びます。
文字通り「物を放り投げたときの線」という意味ですね。

ちなみに、なぜ投げた物がこの形になるのかは、高校の物理で詳しく習います。
「現実の世界の動きが数学で習った式で表される」ことを実感できる面白い分野ですよ。

補足：\(x,y\)の値とグラフの形の関係

ここで、計算した表の数字をじっくり見てみてください。
グラフがなぜになる秘密が隠されています。

左右がピッタリ重なる理由

\(x=1\)と\(x=-1\)のときや、\(x=2\)と\(x=-2\)のときのどちらも、\(y\)の値はそれぞれ同じです。
\(y=ax^2\)の\(x\)の式では\(x\)を2乗するため、
\(x\)の符号が違っても、絶対値が同じであれば\(y\)の値は同じになるのです。

そのため、\(y=ax^2\)のグラフは\(y\)軸を折り目にして「左右対称」になるのです。
このような関係を「\(y\)軸に関して線対称である」と言います。

カーブがどんどん急になる理由

\(y\)の増え方に注目すると、\(x\)が
\(0→1\)のときは「\(2\)」しか増えていないのに、
\(1→2\)のときは「\(6\)」も増えています。
だから、グラフは直線ではなく、後にいくほど跳ね上がるカーブ（放物線）になるのです。

なぜ、点を打って線でつなげばグラフが描けるの？

点を打って、線をつなぐとグラフが描けるのは、
実は、関数のグラフの正体は「点の集まり」だからです。

今は、\(x=0, \pm 1, \pm 2\)のように整数の点しか打っていませんが、
その間にある\(0.1\)や\(0.01\)の点も全部打っていくと、
最終的に一本のきれいな線になります。
線は無数の点を代表しているだけなのです。

「なんで式から線ができるの？」と不思議に思った方は、こちらの記事で詳しく解説しています！
👉 関数のグラフっていったい何？意味と仕組みをやさしく解説

おわりに

お疲れさまでした！

二次関数のグラフを描くポイントは、次の3つです。

• 整数の点をできるだけ多く打つ
• 頂点（原点）から外側へ向かって2回に分けて描く
• 最後は点で止めず、用紙の端まで伸ばす

この基本さえ守れば、もうグラフは怖くありません。

次は、比例定数\(a\)の値でグラフがどう変わるのか、4つの例題でチェックしていきましょう！

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二次関数の式の\(a\)の部分には、グラフの向きと開き具合を決めるという、とても重要な役割があります。

この記事では、4つの例題を使って、\(a\)の値によってグラフがどう変化するのかを視覚的に解説します。
「暗記」ではなく「なぜそうなるのか？」という仕組みから理解して、グラフの性質を完璧にマスターしましょう！

\(y=ax^2\)の\(a\)の違いでグラフはどう変わるの？

二次関数のグラフは、\(a\)の符号と\(a\)の絶対値の大小で、次のように変わります。

それぞれ、例題を見ながら確認していきましょう。
使用するグラフ用紙は、\(y\)の最大値が10、最小値が－10の次のグラフ用紙です。

\(a\)の符号による違い

【解説】

まず、グラフ上にあるすべての整数の点をとる。
整数の点は下の表の通り。

\(y\)	－3	－2	－1	0	1	2	3
\(x\)	9	4	1	0	1	4	9

この点を、グラフ用紙にとると次の通り。

この7点を通る滑らかな曲線を引くと、グラフは次のように描ける。

今回、グラフ用紙の最大値が10までなので、
\(x= \pm 3\)(\(y=9\))まで計算しています。
グラフが通る整数の点はすべて通る必要があるので、必ずすべて点を打ってください。

【解説】

まず、グラフ上にあるすべての整数の点をとる。
整数の点は下の表の通り。

\(y\)	－3	－2	－1	0	1	2	3
\(x\)	－9	－4	－1	0	－1	－4	－9

この点を、グラフ用紙にとると次の通り。

この7点を通る滑らかな曲線を引くと、グラフは次のように描ける。

\(y=ax^2\)の式では、\(x^2\)が常に0以上であるため、次のことが言えます。

• \(a\)>0のとき
  \(x\)の値がいくつでも、常に\(y>0\)（グラフ用紙の上側）に点がくる
  ⇒グラフは原点を頂点として、\(y>0\)の領域に広がる
• \(a\)<0のとき
  \(x\)の値がいくつでも、常に\(y>0\)（グラフ用紙の下側）に点がくる
  ⇒グラフは原点を頂点として、\(y>0\)の領域に広がる

\(a\)の絶対値の大小による違い

【解説】

まず、グラフ上にあるすべての整数の点をとる。
整数の点は下の表の通り。

\(y\)	－2	－1	0	1	2
\(x\)	8	2	0	2	8

この点を、グラフ用紙にとると次の通り。

この3点を通る滑らかな曲線を引くと、グラフは次のように描ける。

【解説】

まず、グラフ上にあるすべての整数の点をとる。
整数の点は下の表の通り。

\(y\)	－4	－2	0	2	4
\(x\)	4	1	0	1	4

この点を、グラフ用紙にとると次の通り。

この5点を通る滑らかな曲線を引くと、グラフは次のように描ける。

\(a\)の値が整数のときは、\(x\)の値を(\(\pm 1,\pm 2,…\))と順に代入すればよいですが、分数のときは分母と約分できる\(x\)だけを代入していくとよいです。

\(a>0\)のときで考えます。
\(a\)の絶対値が大きい方が、\(x\)が増加に対する\(y\)の増加量が大きいです。

そのため、同じ\(x\)の値に対する\(y\)の値は、\(a\)の値が大きい関数の方が大きくなります。
そして、それをグラフ上で表現すると、グラフは上側にくることになるのです。

すべての\(x\)において、\(a\)の値が大きいグラフの方が上側に来るので、結果として\(a\)の値の大きいグラフは狭くなるのです。

そのため、\(a\)の絶対値が大きい式の方が、グラフは狭くなるというわけです。

\(a<0\)のときも、同様の理由で、\(a\)の絶対値が大きい方がグラフは狭くなります。

\(a\)の数字が同じで、符号が逆のグラフ同士の関係は？

例題1と例題2の比較でグラフの関係性を確認しよう

前の例題1と例題2のグラフを見比べてください。

\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフでは、
\(a\)の符号が正と負で、数字の大きさが同じです。
つまり、2つのグラフは、開き具合が同じで、原点を頂点として上下逆に開いていくグラフになります。

そのため、2つのグラフは\(x\)軸で折ると、ぴったり重なるのです。
このような関係を「\(x\)軸に関して線対称である」と言います。

また、この2つのグラフは原点を中心に180°回転させてもぴったり重なります。
このような関係を「原点に関して点対称である」と言います。

おわりに

お疲れ様でした！

二次関数のグラフにおける\(a\)の役割を整理すると、ポイントは2つだけです。

1. 符号（プラス・マイナス）
   グラフが「上」に開くか「下」に開くかを決める
2. 絶対値（数字の大きさ）
   数字が大きいほど、グラフは「シュッと狭く」なる

また、「対称性」の話も、とても大事です。
「\(x\)軸で折ったら重なる」「180度回しても重なる」ということを、
頭の中でしっかりイメージできるようにしておいてください。

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二次関数\(y=ax^2\)のグラフでは、色んな”対称”が出てきます。
そのため、ただの言葉として覚えていると、すぐに間違えてしまうからです。
そして、そういうところは、”みんながどのぐらい授業をわかっているか”が見えやすいため、よくテストに出ます。

特に、

• \(a\)の数字が同じで、符号が違うときの対称性
• グラフそのものの対称性

この2つをごちゃ混ぜにすると、一気に混乱します。

この記事では、この違いを、図をもとにシンプルに整理していきます。

2つの \(y=ax^2\) のグラフの特別な関係

まず、2つのグラフに対称性があるときのお話からです。
結論をまとめると、次のようになります。

ここから、\(a\)が\(1\)と\(-1\)である、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフを例に、詳しく見ていきます。

\(y=x^2\)のグラフと\(y=-x^2\)のグラフで考えてみよう

\(a\)の値は、符号で”グラフの向き”が、数字の大きさで”グラフの開き具合”が変わります。
そのため、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフは、形は同じだけれど、開く向きが逆になっているはずです。

実際に、\(y=x2\)と\(y=-x^2\)のグラフを描いてみます。

確かに、形が同じで向きが逆になっています。

だから、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフは、\(x\)軸で折るとぴったり重なる、つまり\(x\)軸に関して線対称であるとわかります。

また、”原点に関して点対称”とは、「\(x\)の符号も\(y\)の符号も逆にした点」が対応している関係です。

例：
点\((1,1)\)に対しては点\((-1,-1)\)が”原点に関して点対称”

たとえば、\(x=2\)のとき、\(y=x^2\)上の点は\((2,4)\)です。
そして、この点の原点に関して点対称な点は\((-2,-4)\)です。

では、\(y=-x^2\)で\(x=-2\)のときはどうでしょうか。
実際に計算すると、点は\((-2,-4)\)です。
つまり、”\(x=2\)のときの\(y=x^2\)上の点”の原点対称の点が、\(y=-x^2\)上にあるということです。

これは、\(x\)の値がいくつのときでも同じことが起こります。
つまり、\(y=x^2\)上のすべての点について、”原点に関して点対称な点”が、\(y=-x^2\)上にあるということです。

グラフは、式を満たす点のあつまりです。

だから、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)のグラフは、お互い原点に関して点対称な点が集まっているので、グラフ全体も原点に関して点対称になっているとうわけです。

ここが落とし穴！グラフ自体の対称性と区別しよう

二次関数の\(y=ax^2\)のグラフは、元々、\(y\)軸に関して線対称という性質を持っています。

そのため、塾講師をしていたころ、「軸に対して対称」「原点に対して対称」のように、言葉だけをふわっと覚えようとして、テストで混乱してしまう生徒をよく見かけました。

ここは、何と何を比較しているのかということと、図のイメージをセットで整理しておくことが大切です。

整理するとこうなる

• 1つのグラフのかたち
  →\(y\)軸に関して線対称
• 数字が同じで、符号が違う2つのグラフ
  →\(x\)軸に関して線対称
  →原点に関して点対称

この「何と何を比べているのか」を意識して図をイメージできるようになっておくと、かなりスッキリしますし、テストでも間違えにくくなりますよ。

こんな問題が出ますよ

定期テストで聞かれやすいのは、こんな問題です。

【解答】

①\(y\)
②線
③\(x\)
④原点
⑤点

解説は上の説明を参考にしてください。
言葉だけで覚えようとしたり、「”とりあえず対称”のような覚え方では、かなりの確率で間違えますよ」といった意味はわかっていただけるのではないでしょうか。

言葉で聞かれるので、真面目な生徒ほどついつい言葉で考えたくなってしまいます。
でも、実は「グラフの形に関する問題」は、どのような出題のされ方でも、”言葉の理解”ではなく“グラフをイメージする力”がメインで問われています。
無理に言葉だけで覚えようとすると、勉強のピントがズレてしまいます。
そうすると、がんばりが成果につながりにくくなってしまいます。

おわりに

おつかれさまでした。

二次関数は、似た性質が多いため、「なんとなく」の理解で進むと混乱しやすい単元です。

今回のポイントはシンプルで、

• 1つのグラフの話なのか
• 2つのグラフの関係なのか

これを分けて、図のイメージとセットで考えること。

ここが整理できると、テストでも迷わなくなりますし、グラフをイメージする力もかなりつきます。
がんばってください。

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実は、\(y=ax^2\)の変化の割合の問題を解く道具には、

• どんな問題でも整理しやすい基本の表
• 一瞬で答えが出る魔法の公式

の2つがあります。

この記事では、数学が苦手な人でも確実に正解できる手順を、図解と具体例でやさしく解説します。
この記事を読み終える頃には、変化の割合が得意分野に変わっているはずです！

\(y=ax^2\)の変化の割合ってどうやって求めたらいい？

一次関数ではじめて習った変化の割合ですが、実は一次関数専用の考え方ではありません。
だから、二次関数でも定義・計算の手順は変わりません。

また、一次関数の変化の割合のページでも紹介しましたが、表を使うと考えをまとめやすいことも同じです。

それでは、次で具体例を見ながら考えていきます。

具体例で計算方法を確認してみよう

\(y=-2x^2\)の\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化するときの変化の割合を、表を使って、次の手順で考えてみます。

1. それぞれの\(x\)の値に対応する\(y\)の値を計算
2. \(x\)の増加量、\(y\)の増加量を計算
3. 定義に当てはめて変化の割合を計算

下図のような、縦に\(x,y\)、横に変化前、変化後、増加量を書いた表を使います。
問題文の条件から、「\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化する」とわかっているので、
\(x\)の変化前は\(1\)、変化後は\(3\)とわかるので、そこは表を埋めておきます。

それぞれの\(x\)の値に対応する\(y\)の値を計算

関数の式が\(y=-2x^2\)なので、\(x\)の値に対応する\(y\)を計算するときは、関数の式に\(x\)を代入すればよいです。

\(x=1\)のとき\(y=-2 \times 1^2=-2\)
\(x=3\)のとき\(y=-2 \times 3^2 = -18\)

よって、次のように表を埋めることになります。

\(x\)の増加量、\(y\)の増加量を計算

\(\text{（増加量）}=\text{（変化後の値）} – \text{（変化前の値）}\)

で計算することができます。
よく引く順番がぐちゃぐちゃになってしまう人がいますが、「後－前」とだけ覚えておくとよいです。

これを用いて\(x,y\)の増加量をそれぞれ計算すると

\(\text{xの増加量}=\text{変化後のx}-\text{変化前のx}=3-1=2\)
\(\text{yの増加量}=\text{変化後のy}-\text{変化前のy}=(-18)-(-2)=-16\)

定義に当てはめて変化の割合を計算

これで、\(x,y\)の増加量がわかったので、変化の割合の式

\(\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}\)

を用いて計算すると、次のように計算することができます。

\(\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{-16}{2}=-8\)

よって、\(y=-2x^2\)の\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化するときの変化の割合は\(-8\)と求めることができました。

楽に計算するための裏技はないの？

（ただし\(p \neq q\)）の部分は、数学的な嘘をあんまり書きたくないので一応入れただけなので、あんまり気にしないでください。
「\(x\)が\(1\)から\(1\)まで変化しますよ」みたいな、「変化前後で\(x\)の値が変わらない場合」を除いてますよという意味です。

この裏技を使ってさっきの問題を解いてみよう

まずは、先ほどの「\(y=-2x^2\)の\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化するときの変化の割合」を計算してみて、結果が一致するか確認してみましょう。

\(\text{変化の割合} = -2 \times (1+3) = -8\)

となり、確かに答えが一致しているとわかります。

では、ここからは、なぜこれで計算が合うのか文字を使って確認していきます。

難しそうと思ったら飛ばしても大丈夫ですよ。

文字を使って実際に確認してみよう

まず、先ほどと同じように表で整理して増加量を計算します。

\(\text{xの増加量}=q-p\)
\(\text{yの増加量}=aq^2-ap^2\)

と計算できます。
ここでさらに、\(y\)の増加量は次のように因数分解できます。

\(aq^2-ap^2 \\ =a(q^2-p^2) \\ =a(q+p)(q-p)\)

よって、\(x,y\)の増加量は、次の通り整理することができます。

\(\text{xの増加量}=q-p\)
\(\text{yの増加量}=a(q+p)(q-p)\)

したがって変化の割合は

\(\displaystyle \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}= \frac{a(q+p)(q-p)}{(q-p)}\)

分母と分子に\((q-p)\)があるので約分すると

\(\displaystyle \frac{a(q+p)(q-p)}{(q-p)}=a(p+q)\)

と導き出すことができます。

これで、\(y=ax^2\)の\(x\)が\(p\)から\(q\)に増加したときの\(y\)の変化の割合は、\(a(p+q)\)であると計算することができました。

裏技を使うときの注意点

この裏技は、\(y=ax^2\)の変化の割合にしか使えません。

こういう「計算が楽になる裏技的な計算方法」は色々ありますが、そのほとんどが条件を絞って、途中計算を省略しています。
だから、計算が楽になっているのです。

そのため、本当にその裏技が使える条件が整っているかという確認が、とても重要です。

中3の定期テストは基本的に\(y=ax^2\)しか出ませんが、高校受験だとそういうわけにもいきません。
計算で楽になっている分、条件確認がシビアになっていると考えてください。

おわりに

公式、お疲れ様でした！今回のポイントをまとめます。

• 基本：
  \(\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}\)
• 手順：
  「変化前・後・増加量」の表を作ればミスを防げる！
• 裏技：
  \(y = ax^2\)で\(x\)が\(p\)から\(q\)まで変化するとき、変化の割合は\(a(p+q)\)

裏技はとても便利ですが、定期テストでは「計算過程を書きなさい」という問題が出ることもあります。
まずは基本の計算をマスターした上で、裏技を「検算（答え合わせ）」として使うのが最強の勉強法ですよ。

がんばってください。

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二次関数の変域は、定期テストでもほぼ毎回出題される重要な単元です。
ぼくが担当した中では、ここが出題されない二次関数の定期テストを見たことはありません。

しかし、「とりあえず端を代入してつなぐ」で解いてしまい、間違える人がとても多いところでもあります。
一次関数の変域の場合は、\(x\)の変域の端を関数の式に代入して不等号でつなぐだけでも\(y\)の変域を求めることができましたが、二次関数ではそうもいかないのです。

この記事では、グラフを使った二次関数の変域の考え方を4ステップで、図解を交えながら解説します。

二次関数の変域はどうやって求めたらいいの？

一般的な変域の問題は、次の通りです。

関数の式と\(x\)の変域が与えられる
⇒\(y\)の変域を求める

このような問題では、有効な範囲のグラフを描き、そのグラフの\(y\)座標が一番上と下になるときの\(x\)座標を読み取るのが基本的な解法の流れです。

具体的には、次の4ステップで考えると、有効な部分が整理しやすくなります。

次から、具体的にどう考えていけばよいかを、例題で解説していきます。

【4ステップ】\(y\)の変域の求め方を図解を用いて解説

【解説】

①\(y=2x^2\)のグラフを点線で描きます。

グラフはフリーハンドでいいですよ。

②\(x\)の範囲\(1≦x≦2\)をグラフ上にとります。

③グラフの\(1≦x≦2\)の範囲に入っている部分だけ太くします。

④その部分の「一番上と下」になるときの\(x\)の値を読みます。

グラフから、
\(x=1\)のとき\(y\)が最小
\(x=2\)のとき\(y\)が最大
とわかります。

今回のように座標から読み取れるときは、点を読めばよいです。
また、座標がわからない場合は、\(x=1,2\)をそれぞれ元の式\(y=2x^2\)に代入して

\(x=1\)のとき\(y=2 \times 1^2 =2\)
\(x=2\)のとき\(y=2 \times 2^2 =8\)

と求められます。
よって、\(y\)の変域は

\(2≦y≦8\)

こういう問題だけだと、正直一次関数のときとあまり変わりません。
二次関数に特徴的な問題は次の例題2のような場合です。

【解説】

この問題を見て、次のように解答してしまうのが、定番のミスです。

\(x=-1\)のとき\(y=(-1)^2=1\)
\(x=2\)のとき\(y=2^2=4\)

よって、\(1≦x≦4\)

なぜ、この解答が違うのか、グラフを見ながら考えていきます。

①\(y=x^2\)のグラフを点線で描きます。

②\(x\)の範囲\(-1≦x≦2\)をグラフ上にとります。

③グラフの\(1≦x≦2\)の範囲に入っている部分だけ太くします。

④その部分の「一番上と下」になるときの\(x\)の値を読みます。

グラフから、
\(x=0\)のとき\(y\)が最小
\(x=2\)のとき\(y\)が最大
とわかります。

\(x=0\)のとき\(y=\times 0^2 =0\)
\(x=2\)のとき\(y=\times 2^2 =4\)

と求められるので、\(y\)の変域は

\(0≦y≦4\)

変域の中での\(y\)の値は、次のように変化します。

\(x=-1\)から\(x=0\)⇒減少
\(x=0\)から\(x=2\)⇒増加

そのため、\(y\)は\(x=-1\)のときではなく、\(x=0\)のときにが最小となるのです。

一次関数は、\(y\)が常に増えるか、減るかだけの関数だったのでこのようなことは起こりませんでした。
しかし、二次関数は\(y\)が増える区間と減る区間のどちらもあるため、\(y\)の変域の取り扱いに注意が必要になってくるのです。

パターン暗記では解けないの？

正直なところ、中学校の数学までなら、グラフを描かなくても「パターンの暗記」だけで乗り切ることも可能です。

いくつか問題を解くと見えてくると思いますが、上が凸の場合であれば、次のようにパターン分けすることができます。

• 変域が\(0\)をまたぐとき
  （変域：負の数≦\(x\)≦正の数)
  ⇒最小が\(0\)、最大は変域の端のうち\(0\)から遠い方
• 変域が\(0\)をまたがないとき
  （変域：負の数≦\(x\)≦負の数、正の数≦\(x\)≦正の数)
  ⇒最大、最小ともに変域の端（一次関数と同じ）

ただ、パターンを暗記する方法は、まったくおすすめしません。

理由は、高校以降の数学でもパターン暗記を続けようとすると、確実に行き詰まってしまうからです。
扱う関数の種類が増え、形も複雑になるため、暗記すべきパターンが膨大になってしまうのです。

一方、グラフから最大・最小を読み取る力は、高校以降、どんな関数が出てきても必ず通用します。

慣れるまでは確かに大変なのですが、慣れてしまえばグラフを手描きで描いて、最大・最小を読み取る作業は10秒もかかりません。

この先への投資と思って、パターン暗記には頼らず、グラフから最大・最小を読み取る力を養うことをおすすめします。

おわりに

おつかれさまでした。

「わざわざグラフを描くのは面倒くさい……」
最初は、そう思うかもしれません。
でも、二次関数の変域で一番大切なのは「\(y\)が一番高くなるところと、低くなるところを視覚的に見つけること」です。
正直、慣れると数秒で終わる作業になります。

また、グラフから最大・最小を見つけられる力は、高校になって、他の関数を習っても必ず生きてきます。
しっかりトレーニングをして、この先でも役立つグラフを読む力を身につけてください。

がんばってください。

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二次関数の変域は、グラフをイメージできるようになれば、どんな問題でも必ず解けるようになります。

関数の変域は、グラフを使って考えると、どんな関数でも考えることができるようになります。

ただ、グラフを「動的に」捉えるのは、今回が初めての経験かもしれません。 二次関数のグラフには「下に凸」「上に凸」の2種類があり、さらに\(x\)の範囲の取り方によって、

• \(y\)がずっと増加するパターン
• \(y\)が増加から減少（またはその逆）に変わるパターン
• \(y\)がずっと減少するパターン

これらを組み合わせた「計6パターン」の読み取り方をマスターすれば、もう変域の問題は怖くありません。
（全部方法は同じです）

今回は、4ステップの解き方を6つの例題で実践し、どんな問題にも対応できる「一生モノの自信」をつけていきましょう！

二次関数の変域の求め方

一般的な変域の問題は、次の通りです。

関数の式と\(x\)の変域が与えられる
⇒\(y\)の変域を求める

このような問題では、有効な範囲のグラフを描き、そのグラフの\(y\)座標が一番上と下になるときの\(x\)座標を読み取るのが基本的な解法の流れです。

\(x\)座標が読み取れたら、あとは関数の式に代入すれば\(y\)は求めることができます。

具体的には、次の4ステップで考えると、有効な部分が整理しやすくなります。

変域の問題では、どんなパターンがある？

二次関数の変域の問題は、大きく分けると次の6つのパターンに分類できます。

それぞれに違った解き方があるわけではなく、先ほどお示しした解き方ですべてカバーできます。
だから、この6パターンを覚える必要は全くありません。

それぞれのパターンで、先ほどの考え方を運用できるようになれば、変域の基本問題はほとんどマスターしたと言えます。

それでは、次から実際に例題で変域の問題を見ていきましょう。

ここでは、「どんな区間が出てきてもちゃんと考え方を使える」という自信をつけてくださいね。

例題で二次関数の変域を考えてみよう

【解説】

1)\(y\)の変域：\(1≦y≦9\)

グラフの動き：
\(x\)が\(-3\)から\(-1\)に動く間、グラフはずっと右下がり（減少）

読み取り：

• 一番高いのは\(x = -3\)のとき
  →\(y=(-3)^2=9\)
• 一番低いのは\(x = -1\)のとき
  →\(y = (-1)^2 = 1\)

2)\(y\)の変域：\(0≦y≦4\)

グラフの動き：
\(x\)が\(-1\)から\(0\)に動く間は右下がり（減少）
\(x\)が\(0\)から\(2\)に動く間は右上がり（増加）

読み取り：

• 一番高いのは\(x =2\)のとき
  →\(y=(2)^2=4\)
• 一番低いのは\(x = 0\)のとき
  →\(y = (0)^2 = 0\)

ポイント
\(x=0\)で、減少から増加に変わっています。
最大をとるのは、\(x\)が原点から遠い値（\(x=2\)）のとき。

3)\(y\)の変域：\(4≦y≦9\)

グラフの動き：
\(x\)が\(2\)から\(3\)に動く間、グラフはずっと右上がり（増加）です。

読み取り：

• 一番高いのは\(x = 3\)のとき
  →\(y=(3)^2=9\)
• 一番低いのは\(x =2\)のとき
  →\(y = (2)^2 = 4\)

【解説】

1)\(y\)の変域：\(-2≦y≦0\)

グラフの動き：
\(x\)が\(-2\)から\(0\)に動く間、グラフはずっと右上がり（増加）

読み取り：

• 一番高いのは\(x =0\)のとき
  →\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(0)^2=0\)
• 一番低いのは\(x = -2\)のとき
  →\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(-2)^2=-2\)

2)\(y\)の変域：\(-2≦y≦0\)

グラフの動き：
\(x\)が\(-1\)から\(0\)に動く間は右上がり（増加）
\(x\)が\(0\)から\(2\)に動く間は右下がり（減少）

読み取り：

• 一番高いのは\(x = 0\)のとき
  →\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(0)^2=0\)
• 一番低いのは\(x =2\)のとき
  →\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(2)^2=-2\)

ポイント
\(x=0\)で、増加から減少に変わっています。
最大をとるのは、\(x\)が原点から遠い値（\(x=2\)）のとき。

3)\(y\)の変域：\(-3≦y≦-2\)

グラフの動き：
\(x\)が\(2\)から\(3\)に動く間、グラフはずっと右下がり（減少）です。

読み取り：

• 一番高いのは\(x = 2\)のとき
  →\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(-2)^2=-2\)
• 一番低いのは\(x =3\)のとき
  →\( \displaystyle y=- \frac{1}{2}(3)^2=-\frac{9}{2}\)

おわりに

「二次関数の変域は難しい」と感じていた人も、この6つの例題を通して「やることは全部同じなんだ！」と気づけたのではないでしょうか。

大切なのは、式だけで計算しようとせず、小さくてもいいからグラフを描くことです。

1. グラフを描く
2. 範囲をなぞる
3. 一番上と下を見つける

このステップさえ守れば、高校数学の難しい関数に出会っても迷うことはありません。
もし自信がなくなったら、またいつでもこの記事の例題に戻ってきてくださいね。
あなたの「わからない」が「得意！」に変わるのを応援しています！

次の記事では、同じ解き方のはずなのに間違いが増える、端点が分数のときの二次関数の変域の問題について取り扱いました。
ミスを減らす第一歩は、なぜミスが起こるのかを知ることです。
どうしてミスが起こるのか、その対策を知って、もったいないミスを防いで点数をアップしたい方はぜひお読みください。

【次の記事はこちら】
👉二次関数y=ax²の変域｜分数になるとミスが増える理由と対策【中3数学】

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