二次関数の変化の割合を3ステップで攻略！計算の裏技も解説【中3数学】

「二次関数の変化の割合って、計算が面倒くさくてミスしやすい…」
そう思っていませんか？

実は、\(y=ax^2\)の変化の割合の問題を解く道具には、

• どんな問題でも整理しやすい基本の表
• 一瞬で答えが出る魔法の公式

の2つがあります。

この記事では、数学が苦手な人でも確実に正解できる手順を、図解と具体例でやさしく解説します。
この記事を読み終える頃には、変化の割合が得意分野に変わっているはずです！

\(y=ax^2\)の変化の割合ってどうやって求めたらいい？

一次関数ではじめて習った変化の割合ですが、実は一次関数専用の考え方ではありません。
だから、二次関数でも定義・計算の手順は変わりません。

また、一次関数の変化の割合のページでも紹介しましたが、表を使うと考えをまとめやすいことも同じです。

それでは、次で具体例を見ながら考えていきます。

具体例で計算方法を確認してみよう

\(y=-2x^2\)の\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化するときの変化の割合を、表を使って、次の手順で考えてみます。

1. それぞれの\(x\)の値に対応する\(y\)の値を計算
2. \(x\)の増加量、\(y\)の増加量を計算
3. 定義に当てはめて変化の割合を計算

下図のような、縦に\(x,y\)、横に変化前、変化後、増加量を書いた表を使います。
問題文の条件から、「\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化する」とわかっているので、
\(x\)の変化前は\(1\)、変化後は\(3\)とわかるので、そこは表を埋めておきます。

それぞれの\(x\)の値に対応する\(y\)の値を計算

関数の式が\(y=-2x^2\)なので、\(x\)の値に対応する\(y\)を計算するときは、関数の式に\(x\)を代入すればよいです。

\(x=1\)のとき\(y=-2 \times 1^2=-2\)
\(x=3\)のとき\(y=-2 \times 3^2 = -18\)

よって、次のように表を埋めることになります。

\(x\)の増加量、\(y\)の増加量を計算

\(\text{（増加量）}=\text{（変化後の値）} – \text{（変化前の値）}\)

で計算することができます。
よく引く順番がぐちゃぐちゃになってしまう人がいますが、「後－前」とだけ覚えておくとよいです。

これを用いて\(x,y\)の増加量をそれぞれ計算すると

\(\text{xの増加量}=\text{変化後のx}-\text{変化前のx}=3-1=2\)
\(\text{yの増加量}=\text{変化後のy}-\text{変化前のy}=(-18)-(-2)=-16\)

定義に当てはめて変化の割合を計算

これで、\(x,y\)の増加量がわかったので、変化の割合の式

\(\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}\)

を用いて計算すると、次のように計算することができます。

\(\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{-16}{2}=-8\)

よって、\(y=-2x^2\)の\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化するときの変化の割合は\(-8\)と求めることができました。

楽に計算するための裏技はないの？

（ただし\(p \neq q\)）の部分は、数学的な嘘をあんまり書きたくないので一応入れただけなので、あんまり気にしないでください。
「\(x\)が\(1\)から\(1\)まで変化しますよ」みたいな、「変化前後で\(x\)の値が変わらない場合」を除いてますよという意味です。

この裏技を使ってさっきの問題を解いてみよう

まずは、先ほどの「\(y=-2x^2\)の\(x\)が\(1\)から\(3\)まで変化するときの変化の割合」を計算してみて、結果が一致するか確認してみましょう。

\(\text{変化の割合} = -2 \times (1+3) = -8\)

となり、確かに答えが一致しているとわかります。

では、ここからは、なぜこれで計算が合うのか文字を使って確認していきます。

難しそうと思ったら飛ばしても大丈夫ですよ。

文字を使って実際に確認してみよう

まず、先ほどと同じように表で整理して増加量を計算します。

\(\text{xの増加量}=q-p\)
\(\text{yの増加量}=aq^2-ap^2\)

と計算できます。
ここでさらに、\(y\)の増加量は次のように因数分解できます。

\(aq^2-ap^2 \\ =a(q^2-p^2) \\ =a(q+p)(q-p)\)

よって、\(x,y\)の増加量は、次の通り整理することができます。

\(\text{xの増加量}=q-p\)
\(\text{yの増加量}=a(q+p)(q-p)\)

したがって変化の割合は

\(\displaystyle \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}= \frac{a(q+p)(q-p)}{(q-p)}\)

分母と分子に\((q-p)\)があるので約分すると

\(\displaystyle \frac{a(q+p)(q-p)}{(q-p)}=a(p+q)\)

と導き出すことができます。

これで、\(y=ax^2\)の\(x\)が\(p\)から\(q\)に増加したときの\(y\)の変化の割合は、\(a(p+q)\)であると計算することができました。

裏技を使うときの注意点

この裏技は、\(y=ax^2\)の変化の割合にしか使えません。

こういう「計算が楽になる裏技的な計算方法」は色々ありますが、そのほとんどが条件を絞って、途中計算を省略しています。
だから、計算が楽になっているのです。

そのため、本当にその裏技が使える条件が整っているかという確認が、とても重要です。

中3の定期テストは基本的に\(y=ax^2\)しか出ませんが、高校受験だとそういうわけにもいきません。
計算で楽になっている分、条件確認がシビアになっていると考えてください。

おわりに

公式、お疲れ様でした！今回のポイントをまとめます。

• 基本：
  \(\displaystyle \text{変化の割合} = \frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}\)
• 手順：
  「変化前・後・増加量」の表を作ればミスを防げる！
• 裏技：
  \(y = ax^2\)で\(x\)が\(p\)から\(q\)まで変化するとき、変化の割合は\(a(p+q)\)

裏技はとても便利ですが、定期テストでは「計算過程を書きなさい」という問題が出ることもあります。
まずは基本の計算をマスターした上で、裏技を「検算（答え合わせ）」として使うのが最強の勉強法ですよ。

がんばってください。

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