二次関数 y=ax² の変域｜手描きグラフの書き方と外せない3つのポイント【中3数学】

「変域を求めるときグラフを使うのはわかったけど、どこまで正確に描けばいいの？」

二次関数の変域、最初は端を代入して終わり、になりがちです。
でもそれだと、少しひねられると途端に対応できなくなる。
だからグラフを描いて考えることが大切——とはよく言われます。

問題は「どう描くか」です。
塾講師をしていたころ、「グラフを描け」と言うと、「どう描けばいいかわからない」という声が必ず返ってきました。

この記事では、変域の問題で手描きグラフをどこまで描けばいいかを、具体例を使って説明します。
思っているよりずっとシンプルですよ。

\(y\)の変域を考えるときの二次関数\(y=ax^2\)のグラフの役割

グラフを使った変域の問題では、グラフで最大・最小になる\(x\)を探して、式に代入して求めます
そのため、グラフを描く目的は「最大・最小をとるときの\(x\)を見つけること」だけです。

\(y\)の値はグラフには頼らず、式に代入して求めるので、それほど大事ではありません。

グラフで最大・最小になるときの\(x\)を見つける
⇒式に代入して\(y\)を求める

この流れを押さえておくと、グラフで正確に描くもの、気にしなくても大丈夫なものが見えてきます。

二次関数\(y=ax^2\)の変域のグラフでの外せない3つのポイント

大事なのは、この3つです。

この3つさえ押さえていれば、\(x\)がいくつのときに\(y\)が最大・最小になるかがわかるので、全体としてラフでも大丈夫です。

実際、ぼくが描くとしたらこれぐらいですっていう図です。

雑だなあと思いましたか？
でも、この程度で最大・最小になる\(x\)の位置はちゃんとわかります。

それでは、それぞれ見ていきたいと思います。

グラフを描く前に、まず\(x,y\)軸と原点を取ってください。
定規はいりません。
そこそこ真っすぐなら大丈夫です。

上に開くか、下に開くか

・\(a > 0\)→ 上に開く
（∪の形。「下凸」ともいう）
・\(a < 0\)→ 下に開く
（∩の形。「上凸」ともいう）

ここを間違えると、最大と最小が逆になります。
ここは大事なポイントです。

左右対称に描く

\(y=ax^2\)のグラフは、必ず\(y\)軸を中心に左右対称です。
ここであまりにも左右非対称だと、最大・最小をとる\(x\)の読み取り結果がずれてしまいます。

もしうまく描けないようなら、\(x= \pm 1\)の点など、適当に左右対称な点をとってください。
そうすると、全体として大きく左右非対称になることはありません。

\(x\)の範囲の「位置関係」を正しくとる

例えば、\(x\)が「\(-2≦x≦3\)」なら

・-2は0より左
・3は0より右
・0からの距離は、3の方が遠い

という関係を正しく描くことが大切です。
この「距離感」がずれると、最大・最小になる\(x\)を読み間違えてしまいます。

ここをうまく描くコツは、1の目盛りを決めておくことです。
1の場所はどこに書いても大丈夫です。
これを基準に、負の方向にだいたい2倍のところに2、正の方向にだいたい3倍のところに3をとれば、大きく距離感を間違えることはありません。

例題で手描きグラフを使って\(y=ax^2\)を求めてみよう

まずグラフを描きます。
グラフ自体は、次のステップで描くといいです。

1. グラフ全体を点線で描く
   （全体の形を確認するため）
2. \(x\)の範囲の端の点（\(x=-2、x=3\)）をグラフ上にとる
3. その範囲の部分だけ太くする
4. その部分の「一番上と下」になるときの\(x\)の値を読む

・一番低い → x=0
・一番高い → x=3（※3の方が遠い）

とわかります。

\(x\)がわかれば、あとは\(y\)を計算するだけです。

\(x=0→y=2 \times 0^2 = 0\)
\(x=3→y=2 \times 3^2 = 18\)

よって、\(0≦y≦18\)と求めることができます。

変域の問題を解くときにグラフを描くときのポイント

手描きでグラフを描くときのポイントは次の通りです。。

• グラフの目的は「最大・最小の\(x\)を見つけること」
• 最大・最小を考えるときのグラフは次の3つのポイントを押さえる
  • ① 上凸・下凸
  • ② 左右対称
  • ③ 範囲の距離感
• グラフから最大・最小になる\(x\)を見つけたら\(y\)は式で計算する

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