【高校受験・数学】これで完璧！式の決定｜比例・反比例、一次関数、二次関数をまとめて整理

「関数の式の求め方がいまいちわからない」
そんな経験ないですか。

高校入試では、関数の式を求める問題がほぼ毎年出ます。
中1の比例・反比例、中2の一次関数、中3の二次関数――。
学年ごとに分かれて学ぶので、つながりをつかみにくい人も多いです。

でも実は、考え方の流れはどれも同じ。
まとめて整理すれば、得点しやすい範囲です。

今回は、比例・反比例・一次関数・二次関数の式の求め方をまとめて解説します。

関数の式｜求め方の流れ

どんな関数であっても、関数の式は次の手順で求められます。

1. 関数の式を一般形でおく
2. ①でおいた式に、与えられた\(x\)、\(y\)を代入する

関数によって違うのは、①の「一般形の置き方」だけです。
だから、ここがしっかり整理できれば、関数の式の求め方で迷うことはなくなると思います。

関数の式｜関数ごとの一般形

関数の式の一般形は、次の表の通りです。

関数の種類	一般形	備考
比例	\(y=ax\)	「原点を通る直線」という言い方もある。
反比例	\(\displaystyle y = \frac{a}{x}\)	分母・分子の位置に注意。
一次関数	\(y=ax+b\)	条件の与えられ方で3パターンある。
二次関数	\(y=ax^2\)	中3の範囲で取り扱うのは、\(x\)の2乗に比例する関数のみ。

関数の式｜解き方の選択方法

求め方の流れと、関数ごとの一般形を踏まえると、関数の式の求め方は次の通りになります。

• 「比例する」「原点を通る直線」
  ⇒\(y=ax\)を立てて\(a\)を求める
• 「反比例する」
  ⇒\(\displaystyle y = \frac{a}{x}\)を立てて\(a\)を求める
• 「一次関数」「直線」
  • 通る2点がわかる場合
    ⇒\(y=ax+b\)を立てて2点を代入
  • 傾きと通る1点がわかる場合
    ⇒\(y=ax+b\)に傾きを代入して\(b\)を求める
  • 切片と通る1点がわかる場合
    ⇒\(y=ax+b\)に切片を代入して\(a\)を求める
• 「\(x\)の2乗に比例する」
  ⇒\(y=ax^2\)を立てて\(a\)を求める

関数の式｜求め方を例題で見てみよう

解説

\(y\)は\(x\)に比例するので、一般形は

\(y=ax\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=6\)を代入して

\(6=3a\)
\(a=2\)

よって、求める式は

\(y=2x\)

他には、「点(3,6)を通り、原点を通る直線の式を求めよ」のような問題や、グラフと通る点を図に描いてある問題もあります。

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解説

\(y\)は\(x\)に反比例するので一般形は

\( \displaystyle y=\frac{a}{x}\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=1\)を代入して

\( \displaystyle 1=\frac{a}{3}\)
\(a=3\)

よって、求める式は

\( \displaystyle y=\frac{3}{x}\)

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解説

直線の式なので、一般形は

\(y=ax+b\)

とおける。
これに\(x=2\)、\(y=4\)と\(x=6\)、\(y=-8\)を代入して

\(4=2a+b\)…①
\(-8=6a+b\)…②

①－②
\(12=-4a\)
\(a=-3\)

①に\(a=-3\)を代入して
\(4=-6+b\)
\(b=10\)

よって、求める直線の式は

\(y=-3x+10\)

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解説

2直線が平行
＝2直線の傾きが等しい

\(y=-2x+1\)に平行
⇒求める直線の傾きは－2
よって求める直線は

\(y=-2x+b\)

とおける。
これに\(x=-2\)、\(y=3\)を代入して

\(3=4+b\)
\(b=-1\)

よって求める関数の式は
\(y=-2x-1\)

他には「傾きが2のとき」「変化の割合が2のとき」のような条件のときもあります。

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解説

切片が1の直線の一般形は

\(y=ax+1\)

とおける。
これに\(x=3\)、\(y=7\)を代入して

\(7=3a+1\)
\(3a=6\)
\(a=2\)

よって求める直線の式は

\(y=2x+1\)

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解説

\(y\)は\(x\)の2乗に比例するので、一般形は

\(y=ax^2\)

とおける。
これに\(x=2\)、\(y=8\)を代入すると

\(8=4a\)
\(a=2\)

よって、求める式は

\(y=2x^2\)

おわりに

今回の記事は、関数の式の決定についてでした。

関数の式の決定は

1. 関数の式を一般形でおく
2. ①でおいた式に、与えられた\(x\)、\(y\)を代入する

の手順で求められ、最初の一般形の置き方を整理しておくと、ほぼすべての問題が解けるようになります。

関数の式がスムーズに立てられるようになると、入試の大問でも一気に得点源になります。
「式を立てる→代入する」という流れを体にしみこませておきましょう！