【一次関数のグラフ】傾きaと切片bの整理！変化の割合との違いまで徹底解説

「一次関数\(y=ax+b \)のグラフって、結局どんな形になるんだっけ？」
「傾きとか切片とか言葉は覚えたけど、なぜそうなるのか説明できない…」

そんな悩みを持つ人は多いのではないでしょうか。

実は一次関数のグラフは、公式を丸暗記しなくても、「グラフとは何か」という基本に立ち返るだけで、驚くほどすっきり理解できます。

この記事では、

• なぜ一次関数のグラフは直線になるのか
• なぜ必ず点(0,b)を通るのか
• 「傾き」と「変化の割合」は何が違うのか

を、図とやさしい言葉でひとつずつ解説していきます。読み終わる頃には、\(y=ax+b\)のグラフを見ただけで、その形の理由まで説明できるようになっているはずです。

一次関数\(y=ax+b\)のグラフってどんなグラフ？

一次関数\(y=ax+b\)のグラフは、点\((0,b)\)を通る直線になる

ここから、一次関数\(y=ax+b\)の式と、グラフの意味から、なぜ一次関数のグラフが「点\((0,b)\)を通る直線」と言えるのかについて説明していきます。

関数のグラフとは

関数のグラフは、関数の式を満たす点のあつまり

とても大事なことなことですが、だいたいの人は忘れてしまいます。
もし、ご自分が忘れていても、普通のことなんだなと思ってください。

グラフは「関数の式を満たす点のあつまり」です。

関数の式に、\(x\)の値を代入すると、そのときの\(y\)の値が決まります。
この決まった\(x\)、\(y\)を座標にとっていって、線で置き換えたものが関数のグラフです。

たとえば、\(y=2x+1\)のグラフを考えてみます。

このグラフに\(x=0, /pm1, /pm2\)を代入すると、下表のように計算できます。

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)

これを、グラフ上にとっていくと、下図のようになります。

いま、\(x\)の値が整数のみの点をとりましたが、\(x\)の値が小数のときの点も無数にあるはずです。
小数の点もとっていくと下図のようになります。

このように無数の点があつまっているため、代表して線で描きます。

これで見慣れたかたちになったのではないでしょうか？
これが一次関数のグラフの正体です。

ここが理解できると、\(a\)や\(b\)が、グラフ上でどういう役割をしているのかイメージしやすくなると思います。

では、ここから、なぜ一次関数のグラフが直線になるのか、なぜ点\((0,b)\)を通るのかについて説明していきます。

なぜ一次関数\(y=ax+b\)のグラフは直線になるのか

一次関数\(y=ax+b\)のグラフの、どの2点をとっても横の増える量に対する縦の増える量の比率が\(a\)（縦の増える量が横の増える量の\(a\)倍）で一定になっているから

点を無数に集めると「線」になることはわかりましたが、ではなぜ一次関数\(y=ax+b\)のグラフは直線になるのでしょうか？

その理由は、一次関数\(y=ax+b\)の\(x\)の値が増えたときの\(y\)の増え方のルールにあります。

まず、式にある\(+b\)は\(x\)がいくら変わっても動かない固定の数字です。
だから、増え方を決めている\(ax\)の部分だけに注目してみます。

\(x\)の増え方を変えてみると、次のようなルールが見えてきます。

\(x\)を\(1\)増やす

• \(x=2\)のとき\(y=2a+b\)（\(y\)は\(a\)が\(2\)つと\(b\)）
• \(x=3\)のとき\(y=3a+b\)（\(y\)は\(a\)が\(3\)つと\(b\)）

\(x\)が\(1\)増えると、\(y\)は\(a\)だけ増える

\(x\)を\(0.5\)増やす

• \(x=1\)のとき\(y=a+b\)（\(y\)は\(a\)が\(1\)つと\(b\)）
• \(x=1.5\)のとき\(y=1.5a+b\)（\(y\)は\(a\)が\(1.5\)個分と\(b\)）

\(x\)が\(0.5\)増えると、\(y\)は\(0.5a\)だけ増える

つまり、\(x\)をどんな量で増やしても、\(y\)の増える量は常に\(x\)の増える量の\(a\)倍 になっています。

ここで、式で\(x,y\)の増加は、グラフ上では次のように対応しています。

• \(xの増える量 = 横の増える量\)
• \(yの増える量＝縦の増える量\)

だから、「常に\(y\)の増える量が\(x\)の増える量の\(a\)倍になっている」ということは、グラフ上では「常に縦の増える量が、横の増える量の\(a\)倍になっている」ということです。

「坂道の急さ（傾き）」は「横の増える量」に対する「縦の増える量」の比で表されます。
一次関数では、常に「横」の\(a\)倍が「縦」なので、傾きは常に\(a\)です。

坂の急さが途中で変わらない（＝折れ曲がらない）点が、小数や分数も含めて隙間なくギッシリ並ぶため、グラフは「まっすぐな直線」になるのです。

なぜ一次関数\(y=ax+b\)のグラフは点\((0,b)\)を通るのか

一次関数\(y=ax+b\)は、\(a\)の値に関わらず、\(x=0\)のとき必ず\(y=b\)になるから

\(y = ax + b\)の式に\(x = 0\)を代入してみると、どうなるでしょうか？

\[y = a \times 0 + b\]

\[y = b\]

計算すると、\(ax\) が消えて\(y = b\)だけが残りますよね。

これは、「\(x\)が\(0\)のとき、\(y\)は必ず\(b\)になる」 ということを意味しています。

つまり、\(y = ax + b\)のグラフは、\(y\)軸の上にある 点\((0, b)\)を必ずスタート地点として通る のです。

【傾き・切片】一次関数\(y=ax+b\)のグラフ上での\(a,b\)の呼び方

ここまでで、一次関数のグラフが「まっすぐな直線」になる仕組みを説明してきました。
数学では、この式に出てくる\(a\)と\(b\)に、それぞれ分かりやすいようグラフ上での名前がついています。

①\(a\)：「傾き（かたむき）」

式の中の\(a\)は、グラフの「坂の急さ」を決めていました。
だから、数学ではこれをそのまま「傾き」と呼びます。
一次関数ではどこをとっても坂の急さが一定で、「縦は横の\(a\)」倍なので、「横に\(1\)増えると、縦に\(a\)増える」という関係がずっと続きます。

②\(b\)：「切片（せっぺん）」

\(+b\)は、\(x = 0\)のときの\(y\)の値でした。
グラフで見ると、「\(y\)軸（縦軸）をチョキンと切る場所」にある点なので、数学では「切片」と呼びます。

傾き\(a\)がマイナスのときのグラフはどうなるの？

傾き\(a\)がマイナスのときは、「右下がりの下り坂」

これまで「縦の増える量」と説明してきましたが、「マイナス増える」というのは、グラフ上では「下に下がる（減る）」ということです。

たとえば、\(y = -2x + 1\)（\(a = -2\)）で考えてみましょう。

• 横に\(1\)増える
  ⇒縦に\(-2\)増える（＝下に\(2\)下がる）
• 横に\(0.5\)増える
  ⇒縦に\(-1\)増える（＝下に\(1\)下がる）

だから、\(x\)が増える（右に行く）ほど、\(y\)はどんどん減って（下に降りて）いきます。

坂道の急さ（傾き）が常に一定のまま下っていくので、グラフは「右下がりのまっすぐな直線」になります。

「傾き？変化の割合？」、\(a\)の呼び方についてわかりやすく整理

変化の割合は計算で求める値、傾きは一次関数のグラフでの呼び方、

ここは本当に混乱しやすいポイントなので、しっかり整理しておいてください。

一次関数では、\(a\)は「変化の割合」でもあり「傾き」でもありますが、使う場面が違います。

「変化の割合」は計算して求める値で、「\(y\)の増え方のペース」を表している言葉です。
だから、「どういう変わり方をするか」のような話のときによく使いますが、使う範囲は「傾き」よりも広いです。

「傾き」はグラフについての言葉で、「どれぐらいの急さか」を表している言葉です。
そのため、「直線」や「グラフ」などの、グラフの話とセットでしか使いません。

「傾き」はグラフの話、それ意外の変わり方全般の話は「変化の割合」と思っておくと区別がつけやすいかと思います。

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最後に、定期テストでよくある、簡単な例題を見て確認してみましょう。

一次関数\(y = ax + b\)では、どんな\(x\)の値の範囲をとっても（①）は常に一定で、\(a\)に等しい。
また、\(a\)は直線の（②）を表している。

【解答と解説】

①は、グラフの話ではなく変わり方の話をしているため変化の割合
②は、直前に「直線の」とあり、グラフの話とわかるので傾き

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一次関数のグラフ：傾きと切片の整理のまとめ

今回の記事のまとめは次の通りです。

• グラフとは、関数の式を満たす点の集まりを線でつないだもの
• 一次関数\(y=ax+b\)では、\(x\)がどれだけ増えても、\(y\)の増える量は常に「\(x\text{の増える量} \times a\)」になるため、坂の急さ（傾き）が一定になり、グラフは直線になる
• \(x=0\)を代入すると必ず\(y=b\)になるため、グラフは必ず点\((0,b)\)を通る
• グラフ上で、一次関数\(y=ax+b\)の\(a\)は「傾き」、\(b\)は「切片」と呼ばれる
• 一次関数では、\(a\)が「傾き」と呼ばれるのはグラフの話をしているときだけで、それ以外の変化の話をしているときは「変化の割合」と呼ぶ

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