一次関数とは？意味と公式y=ax+bをゼロからわかりやすく解説【中2数学】

「一次関数って\(y=ax+b\)でしょ？」
公式は知っていても、\(a\)や\(b\)が実際に何を意味しているのか、いまいちイメージできないという人は多いのではないでしょうか。

一次関数は、公式だけを丸暗記してしまうと、少し問題の形が変わっただけでつまずいてしまいがちな単元です。
でも、「関数とは何か」という基本から順を追って理解すれば、決して難しいものではありません。

この記事では、関数の意味からスタートし、水槽や貯金額といった身近な例を使いながら、一次関数の式\(y=ax+b\)の\(a、b\)が表す意味、そして比例との違いや、学習する目的まで、イメージでしっかりつかめるように解説していきます。

一次関数の定義を、関数の意味から考えてみよう

関数のうち、\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数のこと

いまいちイメージが掴みづらいと思うので、関数の意味から順を追って考えてみます。

そもそも「関数」って何？

関数は「\(x\)を1つ決めると\(y\)がただ1つに決まるときの決まり方のルール」のことです。

たとえば、「\(y\)は\(x\)の2倍」のようなルールを考えます。
このとき\(x\)が\(2\)なら\(y\)は\(4\)、\(x\)が\(-3\)なら\(y\)は\(-6\)のように、\(x\)を1つ決めると\(y\)も1つに決まります。
だから、このルールは関数と言えます。

「関数」を式であらわしたものが「関数の式」

「\(y\)は\(x\)の2倍」というルールを式の形にすると、次のように表せます。

\[y=2x\]

このように関数を式のかたちで表したものを関数の式と呼びます。

関数の式を表しておくと、代入するだけで\(x\)や\(y\)の値を計算したり、複雑なことを計算で考えられるようになります。

一次関数とは？定義をわかりやすく解説

ここで「\(y\)は\(x\)を3倍したものに2を加えたもの」というルールを考えます。

\(x\)が\(1\)なら\(y\)は\(5\)のように、\(x\)を1つ決めると\(y\)も1つに決まるので、これも関数です。

これを式のかたちにすると、次のように表せます。

\[y=3x+2\]

この式で、\(y\)は\(x\)の一次の項（\(3x\)）と定数項（\(＋2\))からなる一次式で表されています。

このように、関数の中で、\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数のことを一次関数と呼ぶのです。
「\(y\)が\(x\)を何倍かしたものと、定数の和になっている関数」と思ってもらうとイメージが掴みやすいと思います。

一次関数を具体例で確認してみよう

ここからは、日常のどういうことが一次関数で表されるかを見ていって、一次関数のイメージを深めてみます。

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例1)
15L入っている水槽に、1分間に2Lずつ水が増えるとき、\(x\)分後の水の量\(y\)Lの関係

水の量は、次の式で求められます。

\[\text{(水の量)}=\text{(変化した量)} +\text{(最初から入っている量)}\]

• (水の量)
  \(y\)L
• (変化した量)
  \(2x\)L
  • 1分に2L入るので、\(x\)分後は\(2x\)L
• (最初から入っている量)
  \(15\)L

よって、\(x\)と\(y\)についての等式は次のように表せます。

\[y=2x+15\]

これは\(y\)が\(x\)の一次式で表されているので一次関数です。

定数項の\(15\)は最初に入っていた水の量を表しています。
時間がどれだけ経過しても、「最初に\(15\)L入っていた」ということは変わらないので、この値は\(x\)がいくつになっても変わりません。
\(x\)の係数の\(2\)は、時間（\(x\)）が増えたときに水の量（\(y\)）がどれだけ変化するかを表しています。
\(x\)が1増加すると、\(y\)は\(x\)の係数である\(2\)ずつ増加していきます。

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例2)
貯金箱に 5,000円 入っていて、毎日ジュース代として 150円 ずつ使うときの、\(x\)日後の貯金額\(y\)円の関係

貯金額は、次の式で求められます。

\[\text{(貯金額)}=\text{(変化した金額)} +\text{(最初から入っている金額)}\]

• (貯金額)
  \(y\)円
• (変化した金額)
  \(-150x\)円
  • 1日に150円使うので、\(x\)日後は\(150x\)円
    使って貯金額から減っていくので、符号はマイナスになることに注意
• (最初から入っている金額)
  \(5000\)円

よって、\(x\)と\(y\)についての等式は次のように表せます。

\[y=-150x+5000\]

これも\(y\)が\(x\)の一次式で表されているので一次関数です。

最初の貯金額を表す定数項（\(+5000)\)は時間経過(\(x\)の変化\)では変わらず、貯金額\(y\)がどれぐらい変化するかは\(x\)の係数\((-150)\)によって決まっていて、\(x\)が1増加すると、\(y\)は\(150\)ずつ減っていきます。

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イメージが固まったところで、もう一度、一次関数の式の話に戻ります。

一次関数の一般形\(y=ax+b\)の意味

一次関数の式の一般形

これまで見てきた、次の3つの式はすべて一次関数を表しました。

• \(y=\color{red}{3}x+\color{blue}{2}\)
• \(y=\color{red}{2}x+\color{blue}{15}\)
• \(y=\color{red}{-150}x+\color{blue}{5000}\)

ここで、どんな数字でも当てはめられるように、赤字で示した\(x\)の係数を代表して\(a\)、青地で示した定数項を\(b\)とおくと、次のように書き換えることができます。

\[y=ax+b\]

この式が、一次関数の一般形です。

もし、問題文で「\(y\)が\(x\)の一次関数」と言われたら、特にことわりを入れなくても、\(y=ax+b\)とおいて何の問題もありません。

一次関数\(y=ax+b\)の\(a\)は「変化の割合」を表す

これまで見てきた通りですが、\(a\)は「\(x\)が1増加したときの\(y\)の変化量」を表しています。

実際、\(y=3x+2\)の、\(x\)と\(y\)の値を表にとってみます。

\(y\)の値は、\(y=3x+2\)に\(x\)の値を代入すると求められます。
たとえば、\(x-1\)のときの\(y\)の値であれば、

\[y=3 \times (-1) +2\]

\[y=-1\]

のように求められます。

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-4\)	\(-1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)

実際に、\(x\)が1増加するたび、\(x\)の係数である3ずつ\(y\)が増加していっていることがわかります。

このような「\(x\)が1増加したときの\(y\)の変化量」、言い換えると「\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合」のことを、変化の割合と呼びます。

\(a\)は、「\(x\)が1増加したときの\(y\)の変化量」である変化の割合を表しているのです。

一次関数\(y=ax+b\)の\(b\)は「スタートの値」を表す

これも見てきた通りですが、\(b\)は「\(x\)が\(0\)のときの\(y\)の値」を表していて、「\(y\)のスタートの値」を表していると考えてもらうと、イメージがすっきりすると思います。

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比例と一次関数の違い

中学校1年生で、比例の式\(y=ax\)を学習したと思います。

これも定数項はないですが、\(y\)が\(x\)の一次式で表されているので、一次関数と言えます。
実は、比例の式\(y = ax\) は、一次関数 \(y = ax + b\)で\(b = 0\)とした特別な場合のことなんです。

比例は、「スタートの値がゼロの一次関数」と考えるとすっきりするんじゃないかと思います。

一次関数を学ぶ目的とは？

関数を学ぶ目的の一つは、未来予測のツールを手に入れること

中学、高校の勉強で、関数はかなりのボリュームを占めます。
そのため、「何のために勉強するのか？」ということは、大半の人が考えたことがあると思います。

目的はいろいろあるのですが、大きな目的の一つが、「未来予測のツール」を手に入れることにあります。

たとえば、例で出てきた、ジュースを毎日買っていく状況を考えてください。

これが、どういう仕組みでお金が減っていっているかがわかっていないと、知らない間にどんどんお金が減っていき、気がついたらお金がなかった、ということになってしまいます。

逆に、もともといくら持っていて、どれぐらいのペースで減っていくかを把握して、式のかたちにまでできていると、たとえば、「5日後にはどうなっているか」「3000円を切るのは何日後か」のような未来のシミュレーションができるようになるのです。

もちろん、一次関数でシミュレーションできる範囲は限られますが、色々な関数を学んで使えるようになっていくと、世の中の複雑な事象のシミュレーションをとれるようになっていきます。
一次関数の学習は、その第一歩だと思ってください。

まとめ：一次関数の意味を振り返ろう

今回の記事のまとめは次の通りです。

• 関数は「\(x\)を1つ決めると\(y\)がただ1つに決まるときの決まり方のルール」のこと
• 関数の式は、関数を式のかたちで表したもの
• 一次関数は、関数の式が一次式で表される関数
• 一次関数の一般形は\(y=ax+b\)
• \(a\)は「\(x\)が1増加したときの\(y\)の変化量」を表し、変化の割合と呼ぶ
• \(b\)は「\(x\)が0のときの\(y\)のスタートの値」
• 変化の割合は、一次関数専用の考え方ではない
• 比例は、スタートの値がゼロの一次関数
• 関数学習の目的の一つは、未来予測のツールを手に入れること