一次関数とは何か？y=ax+bのa（傾き）とb（切片）の意味を中学生向けに解説【中2数学】

一次関数とは何か

実際に具体例で確認していきましょう。

一次関数がどういう関数か水槽の具体例で確認

関数のうち、\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数を一次関数と呼びます。
一次式とは、\(x^2\)や\(x^3\)のような「2乗・3乗」がなく、\(x\)が1乗だけの式のことで、

\(ax+b\)（\(a=0\)ではない）

のかたちで表される式のことです。

たとえば、すでに15L入っている水槽に、1分間に2Lずつ水が増えていくときを考えてみます。
\(x\)分後の水槽の水の量を\(y\)Lとすると、
\(x\)と\(y\)について等式を立てると

\(y=2x+15\)

と表せます。

このように、\(y\)が\(x\)の一次式になっている関数を、一次関数と呼んでいるのです。

この式の\(x\)の係数、定数項をそれぞれ\(a\)、\(b\)で置き換えると、どんな値にもあてはまる形になります。

\(y=ax+b\)

この式が、一次関数の関数の式の一般形です。

\(a\)（傾き・変化の割合）って何を表しているの？

上の式で、\(x\)の係数2は、「1分あたりに増える水の量」でした。
もともと、水の量が\(y\)L、経過時間が\(x\)と考えています。

つまり、\(x\)が\(1\)増加すると、\(y\)は\(2（＝a）\)増加します。
このように、\(a\)は「\(x\)が\(1\)増えたときに、\(y\)がどれだけ変わるか」を表しているのです。
これを\(x\)の変化に対する\(y\)の変化の割合という意味で、変化の割合と呼びます。
一次関数では「\(x\)がいくつのときでも変化の割合が一定」というのが大きな特徴です。

\(b\)（切片）って何を表しているの？

一方、定数項 15 は、初めに水槽に入っている水の量でした。
言い換えると\(x=0\) のときの水の量と言えます。
つまり、\(b=15\) は「\(x\)が0のときの\(y\)の値」 を表しているのです。

\(a\)や\(b\)には具体的な意味がありますが、グラフを描く際には特別な呼び方があります。

\(b\)は、\(x=0\)のときの\(y\)の値、つまりグラフが\(y\)軸と交わる点であり、切片（せっぺん）と呼ばれます。

\(a\)は、\(x\)の増加に対する\(y\)の変化の割合を表すため、変化の割合、またはグラフの傾きと呼ばれます。

まとめると下表のようになります。

比例と一次関数の違い

比例の式\(y = ax\) は、一次関数 \(y = ax + b\)で\(b = 0\)とした特別な場合です。
「最初の値がゼロ」という条件が加わるだけで、基本的な構造は同じです。

\(a\)、\(b\)の意味をイメージできるとグラフが理解しやすい

\(a\)と\(b\)の意味がわかっていると、この先の学習がぐっとスムーズになります。

特にグラフを学ぶときに、「なぜこの式はこんな形になるの？」という疑問が自然と解消されていくはずです。

今回の記事はここまでです。
\(a・b\)のイメージがつかめたら、次は実際に式を使って計算する練習に進みましょう。
\(x\)の値から\(y\)を求めたり、\(y\)の値から\(x\)を求めたりする計算は、この先ずっと使う基本操作です。

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