一次関数のx・yの求め方｜代入のコツと計算ミスを防ぐ手順【中2数学】

一次関数では、\(x\)や\(y\)の扱い方が大事なポイントです。

「解き方は代入だった気がするけど、なぜか手が止まってしまう…」
といった経験はありませんか？

実は、一次関数で\(x\)や\(y\)をスムーズに計算できるようになるには、「たった1つのシンプルな考え方のコツ」を押さえるだけで十分です。
ただ公式に当てはめるだけの丸暗記から抜け出すと、どんな問題でも迷わず最初の一手が打てるようになります。

この記事では、一次関数で\(x・y\)を求めるための「代入の基本ルール」と「ミスを防ぐ計算手順」、そして「手が止まらなくなる考え方のコツ」を例題と一緒にわかりやすく解説します。

この記事を最後まで読めば、計算ミスがぐっと減るだけでなく、テストで自信を持って一次関数の問題に取り組めるようになりますよ！

「関数\(y=ax+b\)を満たす」の意味

「\(x,y\)は関数\(y=ax+b\)を満たす」と書いてあれば、\(x,y\)の関係は必ず\(y=ax+b\)というルールに従う

毎回、当たり前のように「\(x,y\)は関数～を満たす」と書かれるので、空気みたいに扱われがちですが、実は、これはとても重要な宣言です。

関数は、「\(x\)を1つに決めたとき、\(y\)がただ1つに決まるときの決まり方のルール」のことです。
たとえば、「\(y\)が\(x\)を\(-3\)倍して\(1\)引いたもの」のようなルールが関数です。

このままでは使いにくいため、これを式の形にすると、次のように表せます。

\[y=-3x-1\]

これが、関数の式です。

\(x,y\)の決まり方のルールが関数で、それを数式化したものが関数の式です。
だから、\(x,y\)の決まり方は必ずこの式に従い、\(x,y\)を代入しても等式は成立します。

関数の式がわからないということは、そもそも「\(x\)と\(y\)がどのようなルールで関係しているのか」がわからないということです。
関数を考えるときは、まずこのルールをつかむことが大切です。

当然、\(x\)や\(y\)を求めるときにも、関数の式が基本になります。

一次関数の問題での\(x,y\)の計算方法

関数の式とは、\(x,y\)が守るべきルールを数式にしたものでした。

そのため、\(x\)の値を関数の式に代入すると、そのルールを守るための\(y\)の値を計算することができます。
同じように、\(y\)の値を関数の式に代入すれば、そのルールを守るための\(x\)の値を計算することができます。

つまり、\(x\)や\(y\)の値を求めるときは、関数の式に「わかっている値」を代入し、関数のルールを守るために必要なもう一方の値を求めているのです。

これは、すべての関数について言えることです。

もちろん、一次関数も関数の一つなので、同じことが言えます。

一次関数の式

\[y=ax+b\]

も、\(x\)と\(y\)が守るべきルールを表しています。
だから、\(x,y\)のわかっている方を\(y=ax+b\)に代入すると、もう一方の値が求められるのです。

では、次は例題で、実際の計算方法と、注意点について見ていきましょう。

一次関数の\(x,y\)の計算方法を例題で見てみよう

例題1：基本計算の確認

解答

注意するポイント

2)のように、\(y\)から\(x\)を求める問題では、方程式を解くことになり、移項や、両辺へのかけ算・わり算をしなければならなくなります。

移項の符号ミス、かけ算・わり算の計算ミスやかけ忘れ、割り忘れなどは、とても多い計算ミスです。
必ず途中計算を書いて頭の中の数式を紙においておくようにすると計算ミスを減らすことができます。

途中計算を書くときは、1つの操作につき1つの式を残しておくと、後からの見直しがしやすいです。
例題の2)の計算だと、次の操作をしているので途中計算を残しています。

例題2：負の数の代入

解答

注意するポイント

文字に負の数を代入するときは符号ミスが起こりやすくなります。

特に、例題のように、係数が負の数の文字に負の数を代入するときは、符号ミスがとても起こりやすいです。
負の数を代入するときは、必ずカッコをつけて代入するようにします。

例題3：分数式への代入

解答

注意するポイント

分数のときは、通分が必要になったり、両辺へのかけ算・わり算が少し複雑になったりするので、計算ミスが特に増えます。

通分したときも途中計算を残しておくと、間違えたときに見直ししやすくなります。

また、2)のように、「分数の分母」と「左辺の数字」が同じであったり割り切れてしまうときに、両辺へのかけ算とわり算を間違えてしまうミスをよく見かけます。

正しくは、\(x\)の係数の逆数を両辺にかけて、次のように計算します。

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例題4：\(x,y\)を代入する問題

解答

考え方

「与えられた\(x,y\)が関数の式を満たす」ということは、「\(x,y\)を式に代入しても等式は成り立つ」ということでした。
そのため、\(x=a,y=2\)を関数の式に代入しても構いません。

代入すると、\(a\)についての方程式になるため、これを解くと\(a\)の値を求めることができます。

聞かれ方は少し違いますが、「関数の式を満たす」ということの意味がしっかり身についていれば、\(x,y\)の求め方と同じ考えで計算を進めることができます。

一次関数の\(x,y\)の求め方のまとめ

今回のまとめは次の通りです。

• 関数の式は、\(x,y\)が守るルール
• 関数の式に、\(x,y\)のわかっている方を代入すると、もう片方がわかる
  • 関数全般について言えることで、一次関数でも成り立つ
• 途中計算を書いて、間違えやすい計算に注意する
  • \(y\)を求めるときの、移項、両辺へのかけ算・わり算
  • \(x\)に負の数を代入するときはカッコをつけて代入する
  • 分数が混じるときは、注意が必要
  • 計算ミスを減らすためには、方法を固定する
• \(x,y\)が関数の式を満たすとき、\(x,y\)を関数の式に代入しても等式は成立する
• \(x,y\)を求めたいときは、まずその\(x,y\)を決める関数の式を探す

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