【高校受験・数学】もう迷わない、変化の割合！基礎～応用まとめ

「変化の割合って、どんな意味だったっけ？」
そんなふうに感じたことはありませんか？

中2で習う一次関数のときは理解できていたのに、少し時間がたつと「どうやって計算するんだっけ」と迷いやすい単元です。

でも、変化の割合は一次関数に限った考え方ではなく、反比例や二次関数などにも使われる、とても大切な考え方です。

この記事では、そんな変化の割合を

意味
計算方法
応用へのつながり

の3ステップで、わかりやすく整理していきます。

【高校受験・数学】これで完璧！式の決定｜比例・反比例、一次関数、二次関数をまとめて整理

中1〜中3で学ぶ関数は、どの単元でも「一般形でおく→代入する」の流れで式を求められます。中学校で習う範囲の関数について、式の求め方を体系的にまとめました。

変化の割合とは
変化の割合｜表を使った計算方法
変化の割合｜一次関数の場合
変化の割合｜反比例、二次関数への応用
おわりに

変化の割合とは

変化の割合の定義、公式、意味は次の通りです。

定義
\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合
公式
\(\displaystyle　(変化の割合)= \frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)
※増加量は
　(変化後の値)－(変化前の値)
意味
2点間の変化の割合は、その2点を結ぶ直線の傾き

次に、これを踏まえて、実際にどんな計算をするのかを見ていきます。

一次関数のときに、「変化の割合=一次関数の傾き」みたいな覚え方をする人が多いですが、それだけだとなかなか応用が利きません。
計算の方法と意味をしっかり押さえてください。

公式の意味まで戻って理解したい方は一次関数、変化の割合とは？を参考にしてください。

変化の割合｜表を使った計算方法

変化の割合の計算では、\(x\)の増加量、\(y\)の増加量を表にまとめると、考えを整理するのに大変役立ちます。

実際の問題で見てみましょう。

例題1（表を使った変化の割合の計算）

点(3,－1)から点(5, 3)に変化するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x\)、\(y\)の変化をまとめると次の表の通り。

	変化前	変化後		増加量
\(x\)：	3	5	⇒	2 (=5－3)
\(y\)：	－1	3	⇒	4 (=3－(－1))

よって、公式より変化の割合は

\(\displaystyle \frac{4}{2}=2\)

変化の割合に限らずですが、前後の変化を整理したいときに、表はとても役立ちます。

一次関数では、この変化の割合がどうなっていたのかを見ていきます。

変化の割合｜一次関数の場合

まず、一次関数の変化の割合を考えていきます。

例題2（一次関数の変化の割合）

一次関数\(y=2x-3\)において、\(x\)が－1から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x=-1\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times (-1) -3 =-5\)

\(x=4\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times 4 -3 =-5\)

	変化前	変化後		増加量
\(x\)：	－1	4	→	5
\(y\)：	－5	5	→	10

よって変化の割合は
\(\displaystyle \frac{10}{5}=2\)

この問題を解いてわかる通り、一次関数の場合は、変化の割合とグラフの傾きは一致します。

ここまでが、中2で変化の割合を学習したときに出てくる話です。
次は、この変化の割合を反比例や二次関数で使った問題を取り扱います。

変化の割合｜反比例、二次関数への応用

関数が一次関数でなくても、考え方に変わりはありません。
反比例の式で、変化の割合を考えてみます。

例題3（一次関数以外の変化の割合）

反比例の式\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)において、\(x\)が2から6まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解説

\(x=2\)を\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)に代入して
\(\displaystyle y=\frac{12}{2}=6\)

\(x=6\)を\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\)に代入して
\(\displaystyle y=\frac{12}{6}=2\)

	変化前	変化後		増加量
\(x\)：	2	6	→	4 (=6－2)
\(y\)：	6	2	→	－4 (=2－6)

よって変化の割合は
\(\displaystyle \frac{-4}{4}=-1\)

一次関数の変化の割合を計算したときと、手順は何も変わりません。
難しそうに見えても、実は基本と変わらないということはよくあります。

次は、二次関数の変化の割合を考えてみます。
今度は、文字が入ったときの処理の仕方も見ていきます。

一見難しそうに見えますが、今までとほとんど同じ解き方で解けます。

例題4（一次関数以外の変化の割合、文字が入った場合）

2次関数\(y=ax^2\)において、\(x\)が－2から1に変化するときの変化の割合が3である。
\(a\)の値を求めなさい。

解説

文字が入っていても、これまでと同じように計算していきます。

\(x=-2\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (-2)^2 =4a\)

\(x=1\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a \times (1)^2 =a\)

	変化前	変化後		増加量
\(x\)：	－2	1	→	3 (=1－(－2))
\(y\)：	\(4a\)	\(a\)	→	\(－3a\) (=\(a-4a\))

よって変化の割合は

\(\displaystyle \frac{-3a}{3}=-a\)

条件より変化の割合が3であるので

\(-a=3\)
\(a=-3\)

おわりに

この記事では、変化の割合の「意味」と「計算のしかた」、
そして反比例・二次関数へのつながりを確認しました。

変化の割合は、数字を計算するだけのものではなく、
「どのくらい変わったのか」を比べるものの見方そのものです。

一次関数の傾きとして覚えるだけでなく、
「変化を比べる考え方」としてとらえると、
この先の関数の学習でも迷わずに進めるようになります。

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