中2の一次関数から始まり、中3の二次関数、高校数学まで、関数を学習するかぎり“変域”は必ず登場します。
でも実は、変域の求め方はどの関数でも 同じ考え方 で進められます。

そのカギが、
「まずグラフ全体を考えて、そこから有効な部分だけを絞り込む」
という手順です。

この記事では、一次関数を例にしながら、どの関数にも通用する変域の考え方をわかりやすく解説します。

\(y\)の変域ってどうやって考えたらいいの？

\(y\)の変域は、グラフの有効な部分だけを描いて考える

変域を求める問題は、「\(x\)の変域が与えられる⇒\(y\)の変域を求める」という形式で出題されます。

この問題は、有効な範囲のグラフを描き、そのグラフの最も低い\(y\)座標と最も高い\(y\)座標を読み取るのが基本的な解法の流れです。

そして、次の4ステップで考えると、有効な部分を整理しやすくなります。

変域の求め方を詳しく解説

変域って何？

簡単に言うと、文字が動ける範囲のことです。
つまり、「この文字（\(x,y\)）はこの範囲で考えてくださいね」という決めごとです。

たとえば、

\(x\) の変域が「\(1 ≦x≦ 5\)」
⇒「\(x\) が\(1\)から\(5\)までの間だけを考えてください」

という意味です。

グラフ上での変域の意味

グラフは、関数の式を満たす\(x,y\)の集まりです。
だから、\(x\)の変域が決められていると、グラフも変域内だけが有効ということになります。

そのため、有効な部分のグラフを描くことができれば、\(x,y\)の範囲が一目でわかるようになります。

有効な範囲のグラフの描き方

いきなり有効な範囲のグラフを考えることもできますが、まず全体を考えて、条件で絞り込んでいく方が考えをまとめやすいです。

具体的には、次の手順でグラフを描いてみてください。

1. 関数のグラフを全体を点線で描く
2. \(x\)の変域を座標内に書く
3. グラフの変域内にある部分を実線でなぞる

このように描くと、グラフの定義域内の部分だけを、実線として描くことができます。

変域の考え方を例題で見てみよう

【解説】

まず、\(y=2x+1\)のグラフを点線で描きます。
切片1、傾き2のグラフなので、切片と切片から右に1上に2の点をとるとグラフが描くことができます。

次に、\(x\)の変域\(-1≦x≦2\)を\(x\)軸上に書き込みます。

それができたら、グラフの\(x\)の変域内にある部分だけを実線でなぞります。

最後に、\(x=-1\)と\(x=2\)のときの\(y\)座標を、関数の式から計算し、
グラフの実線部の\(y\)座標の下端（最小値）から上端（最大値）までを読み取ります。

すると、グラフから\(-1≦y≦5\)とわかります。

有効な範囲のグラフを描くときの思考メソッド

数学では、詳細な条件からではなく、「まず全体を考える⇒詳細条件で絞り込む」という考え方をはよく使います。

今回の変域の考え方であれば、
「まず関数のグラフとして必要な全体像を考える⇒ \(x\)の変域の条件を満たす部分（有効な範囲）だけを実線で絞り込む」
という手順を踏みます。

おわりに

今回は、変域の考え方について解説しました。

変域を求める手順は、どの関数（中3の二次関数、高校の関数など）でも共通しており、以下の3ステップで考えます。

1. 関数全体のグラフを描く
2. 変域でグラフの有効な範囲を出す
3. \(y\)の範囲を読み取る

この問題に取り組むことは、「座標の読み方」や「グラフの意味・描き方」、「グラフ上の点の求め方」など、複合的な力のレベルアップにつながります。
最初は難しく感じるかもしれませんが、変域をきちんと求められるようになれば、どんな関数を前にしても考え方で迷うことはなくなります。

がんばってください。

何となく、「交点の求め方は連立」とだけ覚えて終わってしまう人も多いところですが、
根拠から理解できると、関数への理解がぐっと深まります。

この記事では、なぜグラフの式を連立させると交点を求められるのかの根拠について、
交点の意味、連立方程式の意味から具体例を用いて解説していきます。

なぜ交点は式を連立させると求められるの？

交点の座標と連立方程式の解は同じ意味だから

交点、連立方程式の意味から「交点⇒連立」の根拠を考える

グラフと交点の意味

グラフは、関数の式を満たす点の集まりです。
だから、グラフ上の点の座標は、必ずそのグラフの式を満たします。

また、交点は2つのグラフ上で重なっている点のことです。
だから交点はの座標は、それぞれの関数の式を満たします。

たとえば、次の2式の交点を考えます。

\(y=2x+1\)…①
\(y=-x-5\)…②

このグラフの交点は\((-2,-3)\)ですが、
それぞれの式に\(x=-2,y=-3\)を代入すると

①の式は
\(y=2x+1 \\ -3 = 2 \times (-2) + 1 \\ -3 = -3\)
②の式は
\(y=-x-5 \\ -3 = -(-2)-3 \\ -3 = -3\)

となり、交点の座標どちらの式も満たしていることがわかります。

連立方程式の意味

解き方が複雑なので意味を忘れがちかもしれませんが、
連立方程式は、そもそも「2式を同時に満たす\(x,y\)を求めるための解き方」です。

加減法、代入法のどちらも、
「\(x,y\)はどちらの式でも共通の値である」
という前提で成り立っています。

たとえば、次のような連立方程式では、

\(2x+3y=1\)…①
\(x+3y=-2\)…②

①－②を計算して

\(x=3\)

のように計算をすると思います。
この計算では、\(x,y\)の項について

\(2x-x=x\)
\(3y-3y=0\)

と計算していますが、もし\(x,y\)が①、②の式でそれぞれ違う値であれば、
このような計算が成り立たなくなるのです。

代入方も同じで、次のような方程式で

\(y=2x-1\)…①
\(3x+2y=1\)…②

①を②に代入して

\(3x+2(2x-1)=1\)

と計算しますが、この計算も①と②の\(y\)が違う値であれば成り立ちません。

だから交点は連立方程式で求められる

ここまでで見た通り、連立方程式の解は2式を同時に満たす\(x,y\)になっているのです。

まとめると、交点の座標、連立方程式の解の意味は次のようになり、
同じものであるということがわかります。

• 交点の座標：2式を同時に満たす\(x,y\)
• 連立方程式の解：2式を同時に満たす\(x,y\)

だから、交点を求めたいときは、連立させてその解を求めるのです。

一次関数以外への適用：「交点⇒連立」はすべての関数に通じる

先ほどの説明は、すべて一次関数を例にしましたが、
交点の座標の意味、連立方程式の意味は、一次関数以外の関数であっても変わりません。

また、中学校2年生の段階では、二元一次方程式の連立方程式しか扱っていませんが、
学習が進むと、どんな方程式でも連立させて解く機会があります。

つまり、一次関数以外の関数でも、交点を求めたいときは連立させて解けばよいということになります。

たとえば、中学校3年生では

\(y=x^2\)…①
\(y=x+2\)…②

の交点を求める機会がありますが、これも連立させて解きます。

①を②に代入して

\(x^2=x+2 \\ x^2-x-2=0\)

ここから二次方程式として解いて、交点を求めます。
（二次方程式の解き方も中学校3年生で習います）

根拠からしっかりわかって「交点⇒連立」と押さえておくと、すべての関数に役立つ知識にするこおとができるのです。

おわりに

この記事では、交点を求めるときに式を連立させる根拠について解説しました。

• グラフは式を満たす点のあつまりである
• 交点が2式を同時に満たす点である
• 連立方程式が2式に共通する\(x,y\)を求める計算方法である

という、3つの基本をしっかり押さえると、その根拠が見えてきます。

根拠からしっかり押さえると、他の関数にも応用することができます。
どんな関数を学習していても、交点を求める機会は必ずあります。

ここがわかると、関数の理解がぐっと進むので、しっかりがんばってください。

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ぼくが塾講師として働いていたころ、
中学校2年生以降で塾を探す生徒の大半は、
一次関数でつまずいていました。

それぐらい、取り組みづらい単元です。

しかし、一次関数は、中学数学の中でも特に「理解の積み重ね」が大切な単元です。

一次関数自体がよく出てくる関数な上、
変化の割合・変域の考え方や、交点の求め方など
高校の数学でもよく使う考え方なども登場するからです。

この記事では、一次関数の基本事項を順番に学べるように、網羅的に記事をまとめています。
はじめて学ぶ人も、苦手をやり直したい人も、順に読み進めてみてください。

一次関数の学習目標を押さえよう

学習の基本は、まずしっかり目標を意識することです。

やるべきことを整理して目標を意識できていると、
次のような効果があります。

• やるべきことの優先順位が見える
• ペース配分を考えられる
• どこまでやればいいかわかるので、終わらせていけば自信につながる

一次関数を学習するにあたって、何ができるようになればいいのかを必ず整理するようにしてください。

【解説記事】
👉中学生のための一次関数の学習目標まとめ

一次関数の概要

関数とは、「\(x\)を1つ決めたときにただ1つの\(y\)が決まる関係」のことです。
そして、その関数を式の形に表したものが関数の式です。

ここでは、一次関数とはどういうものか、関数の式の基本的な使い方についてまとめました。

一次関数って何？

一次関数とは「\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数（\(y=ax+b\)）」のことです。

この\(a,b\)が、式としてどういう役割を果たしているのかについてまとめました。
一次関数の基本になるので、ぜひ読んでみて、一次関数のイメージを固めてください。

【解説記事】
👉一次関数ってどんな関数？関数の意味からていねいに解説

\(x,y\)はどうやって計算したらいい？

\(x,y\)を計算するときは、一次関数の式に\(x\)または\(y\)を代入すると求められます。

この計算は、一次関数の範囲ではとても大事な基礎となり、
たとえば、この先の変化の割合や、変域を考えるときなどにも当たり前のように出てきます。

基本的な計算方法や、考え方までを、具体例付きで解説しています。
ぜひ計算方法と考え方をマスターしてください。

【解説記事】
👉x,yの計算は関数の式に代入！基本の計算方法と考え方

【演習記事】
👉一次関数の基本計算！x,yの求め方の演習

変化の割合について

一次関数の学習中に出てくる変化の割合。

苦手にする人が多くて、定期テストや入試で出ても

「あれ、変化の割合って何だっけ？」

となりがちな範囲です。
いろいろ理由はありますが、大きくは次の2つだと思います。

• 変化の割合は、関数全体で使う考え方なのに、一次関数ではほんの少し触るだけになってしまう
• 「変化の割合とグラフの傾きが等しい」というわかりやすい結論があるので、そっちだけが印象に残ってしまう

この2点を解消して、後々まで残る知識になるようにと思って解説をまとめました。

変化の割合って何？

変化の割合は、「\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合」のことです。

公式は次の通りです。

\( \displaystyle \text{変化の割合}=\frac{\text{yの増加量}}{\text{xの増加量}}\)

この公式、忘れる人がとても多いですが、
変化の割合の意味をしっかりわかっていれば、公式を暗記する必要はありません。

変化の割合の定義から公式の意味まで、具体例を用いて公式の意味について解説しました。

【解説記事】
👉【関数の基本】脱公式暗記！一次関数、変化の割合の公式を意味からていねいに解説

計算がわかりにくいけど、計算の工夫はないの？

一次関数の変化の割合をを考えるときに、間違えやすいのが増加量の計算。
どちらからどちらを引くのか混乱してしまって、間違えてしまうことはよくあります。

こういうミスを減らすためには、表を使うのが有効です。

変化の割合に限らず、いくつかのものを比較したいとき、表は有効なツールになります。
ぜひ、変化の割合を通じて、表の使い方に触れてみてください。

【解説記事】
👉一次関数、変化の割合を確実に計算する方法！表を使った計算の工夫

【演習記事】
👉レベル別演習！変化の割合、基本の計算から一次関数への適用まで

解説を読めばわかるけど、自分で考えると手が止まる

変化の割合の問題で一番思考の数が多い問題では、
次のような思考のステップを踏みます。

1. \(y\)の値を計算
2. \(x,y\)の増加量を計算
3. 変化の割合を計算

このぐらいまで思考のステップが増えると、どこから考えればよいかが見えづらくなってきます。

この記事では、変化の割合の問題を、どこから、どの順番で考えればよいか、
逆算の考え方を用いて説明しています。

逆算の考え方自体、数学で必須の考え方ですので、
この機会にぜひ触れてみてください

【解説記事】
👉【数学の考え方】解答の順番と思考の順番は違うもの！逆算思考で考える変化の割合

一次関数のグラフについて

グラフは、関数を視覚的に捉えるためのツールです。
ここでは、一次関数のグラフの特徴や、描き方、読み取り方を学びます。

「式⇔グラフ」を自由に行き来できるようになれば、一次関数の理解もぐっと深まります。

一次関数のグラフの傾き、切片って何？

一次関数\(y=ax+b\)のグラフの形の特徴は、傾き\(a\)と切片\(b\)で決まっています。

ここでは、傾き、切片はグラフ上のどの部分を表しているのかについてまとめました。
グラフの描き方、読み取り方の土台になるので、しっかり整理しておいてください。

【解説記事】
👉一次関数のグラフの特徴を知ろう！傾き、切片のグラフ上の見方

一次関数のグラフってどうやって描いたらいい？

一次関数のグラフは「切片⇒傾き」の順で考えるとスムーズに描けます。

切片が整数であれば、傾きが整数でも分数でも描けるように、3ステップで描き方をまとめました。
この描き方をマスターすれば、大半の一次関数のグラフは描けるようになります。
ぜひお読みください。

【解説記事】
👉3ステップで描ける！「切片⇒傾き」で考える一次関数のグラフの描き方

直線のグラフから一次関数の式はどうやって読み取ればいい？

直線のグラフを読み取るときも「切片⇒傾き」の順で考えると、スムーズに式を読み取れます。

式の読み取りは、式からグラフを描くのと逆の操作です。
この2つをセットで理解しておくと、「式⇔グラフ」を自由に行き来できるようになります。

ここまでしっかり理解できると、グラフに対する苦手意識もなくなってくると思います。
ぜひ読んでみてください。

【解説記事】
👉読み取り方も「切片⇒傾き」！直線のグラフの読み取り方

切片が分数のときの一次関数のグラフが描けない

グラフを描く問題で、切片が分数のとき、
切片が目盛りの間に来るのでグラフを描くことができません。

そのため、通常「切片⇒傾き」と考えるところを、
「適当な整数の点⇒傾き」と考えてグラフを描かなければいけません。

問題としては定期テスト向けですが、
「直線のグラフ⇒通る2点を考える」という基本的な考え方を養うためにも、
ぜひ取り組んでみてください。

【解説記事】
👉3ステップで描ける！切片が分数のときのグラフの描き方

【演習記事】
👉パターンを網羅！グラフの描き方の演習

一次関数以外に直線のグラフってある？

一次関数以外で、直線のグラフになる式には「\(x=a\)」、「\(y=b\)」の2種類があります。

一見すると、ただの値のようにも見えます。
しかし、この2式はそれぞれ、

「\(y\)の値に関わらず、常に\(x=a\)」
「\(x\)の値に関わらず、常に\(y=b\)」

という意味を持ちます。

最初は慣れないかもしれませんが、式の意味とグラフを一緒に見ていくと、
だんだんイメージが掴めてきます。

意味やグラフの描き方までを解説しているので、ぜひ読んでみてください。

【解説記事】
👉一次関数ではない直線「x＝a」「y＝b」をていねいに解説

一次関数のグラフ上の点はどうやって求めたらいい？

グラフ上の点を求める時は、関数の式に代入します。

グラフは、関数の式を視覚化したものです。
だから、関数の式から\(x,y\)を計算する方法と、グラフ上の点を求める方法は同じです。

入試でも頻出の分野なので、しっかり押さえてください。

【解説記事】
👉求め方はグラフの式に代入！グラフ上の点の求め方

【演習記事】
👉一次関数のグラフ上の点の求め方｜x軸・y軸との交点も完璧にマスター！

一次関数の利用

一次関数を活用する問題や、一次関数の式の求め方についてまとめました。

グラフを描いたり、グラフ上の点を求めたりが基本知識になります。
ここまでできるようになれば、一次関数ももう一息です。

一次関数の変域はどうやって考えたらいい？

変域は「グラフの全体像を考える⇒変域で有効域を絞り込む⇒グラフを読み取る」の順で考えると、すっきり求められます。

一次関数に限って言えば、代入して不等号の帳尻を合わすだけでも正答は導けます。
しかし、後の勉強のことまで考えると、代入するだけで答えを求める方法は、
かなりの遠回りなってしまいます。

先の学習まで通じる変域の考え方についてまとめたので、ぜひ読んでみてください。

【解説記事】
👉4ステップでわかる！グラフを用いた変域の求め方

一次関数の式はどうやって求めたらいい？

関数の式は、「一般形でおく⇒代入」で求めることができます。

一次関数の場合は、条件の与えられ方で、一般形のおき方が変わるので、
他の中学校で習う関数より少し難しいです。

すべてのパターンを網羅してまとめたので、この記事を読んでいただいたら、
一次関数の式の求め方は大丈夫だと思います。

【解説記事】
👉パターンを網羅！一次関数の式の求め方

【演習記事】
👉【完全網羅】一次関数の式の求め方 3パターン徹底演習と解法テクニック

一次関数のグラフの交点はどうやって求めたらいい？

グラフの交点を求めたいときは、グラフの式を連立させて求めます。

具体的な計算方法や、計算の工夫、なぜ連立させるとグラフの交点を求められるのか、大事にしたい考え方などについてまとめています。

定期テストでも必ず出ますし、グラフの応用問題を解くときにも必須の知識になります。
考え方さえわかってしまえば、解き方は同じなので、がんばって練習してみてください。

【解説記事】
👉一次関数と連立方程式の関係、交点の求め方をわかりやすく解説

おわりに

一次関数は、グラフや数の関係を通して「変化を読み取る力」を育てる、とても大切な単元です。
はじめは難しく感じても、式の意味・グラフの形・変化の割合がつながってくると、一気に見える世界が変わります。

この単元をしっかり理解できると、
高校で学ぶ二次関数やグラフの応用問題にも自信を持って取り組めるようになります。
つまり、一次関数を“自分の得意分野”にできれば、その先の数学がぐっと楽になるんです。

うまくいかないときも、「少しわかる」を積み重ねれば大丈夫。
このシリーズを通して、自分の力で考えて、グラフを描いて、理解できる楽しさを感じてもらえたらなと思います。

なぜ一次関数でつまずく人が多いのか。
それは、「何をできるようになったら理解できたと言えるのか」がわかりにくいからです。

そこで今回の記事では、一次関数の学習目標にについてまとめました。
この記事を読むことで、一次関数の全体像がつかめるはずです。

一次関数では何ができるようになればいい？

一次関数の単元では、次のことができるようになることを目標にするとよいです。
これを全部クリアできれば、定期テストでも困らないです。

• 関数とは何か、一次関数とは何かがわかる
  • 関数は\(x\)と\(y\)が一対一で対応するルール
  • 一次関数は、関数のうち\(y\)が\(x\)の一次式で表されるもの
• 一次関数の式を使って\(x\)、\(y\)を求められる
  • 関数の基本操作、式に数字を代入しての計算ができる
• 変化の割合を求められる
  • 変化の割合の意味と計算方法がわかる
• 一次関数グラフの読み方がわかる
  • 一次関数のグラフの各部分の名称がわかる
  • 傾き、切片の符号とグラフの形との関係についてわかる
  • グラフの意味や、グラフの値の読み取り方についてわかる
• 一次関数のグラフが描ける
  • 傾きや切片が整数のときの一次関数のグラフを描くことができる
  • 傾きや切片が分数のときの一次関数のグラフを描くことができる
• 変域の考え方がわかる
  • \(x\)や\(y\)の値の範囲を正しく判断できる
• 一次関数の式が求められる
  • 通る2点が与えられた場合
  • 通る1点と、傾き、切片の条件が与えられた場合
• 交点が求められる
  • 2つの一次関数の交点を計算できる
• 一次関数以外の直線の式がわかる
  • \(x=a\)、\(y=b\)のグラフ上の意味がわかる
• 文章題が解ける
  • 場合分けが必要な面積の問題が解ける

一次関数の学習目標について、文部科学省の中学校学習指導要領にも記載があります。
中学2年生向けの内容は、PDFのページでは125ページ（本文上ではp.121）に掲載されており、上で紹介した学習リストと大まかに一致しています。
詳細を確認したい方は、以下の公式PDFをご覧ください。

中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説【数学編】

おわりに

一次関数は、中学2年生で学ぶ数学の中でも少し難しい単元です。
でも、何ができるようになればよいかを整理して学習すれば、理解も進むと思います

一次関数をしっかり身につければ、高校入試だけでなく、高校数学や日常生活での問題解決にも役立ちます。
少しずつでも確実に力をつけて、一次関数を得意にしていきましょう。

次の記事では、「一次関数とは何か？」というところから始めていきたいと思います。

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「一次関数って何？」
「\(y=ax+b\)の\(a\)や\(b\)の意味がよくわからない…」
と悩んでいませんか？

定期テストで点数を取るには、まず一次関数の基本をおさえることが大切です。

この記事では、中学2年生が学ぶ一次関数「$(y=ax+b\)」を徹底解説します。
関数の意味から、\(a\)（傾き・変化の割合）と\(b\)（切片）の持つ役割まで、
例を通して分かりやすく解説します。

一次関数って何？

一次関数の意味を具体例で解説

関数のおさらい

関数とは、「\(x\)を1つ決めると、それに対応して\(y\)が1つに決まるときのルール（きまり）」のことです。

また、関数を式として表したものが関数の式です。
「\(x\)と\(y\)の関係を数式で書いたもの」と考えるとわかりやすいと思います。

「関数」のイメージがわかりにくい場合は、こちらの記事をお読みください。
学習することのイメージがはっきりすれば、学習効率も上がりますよ。
👉関数とは何か？関数の基本の考え方をわかりやすく解説

一次関数を具体例で解説

関数のうち、\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数を一次関数と呼びます。
一次式とは、\(x^2\)や\(x^3\)のような「2乗・3乗」がなく、\(x\)が1乗だけの式のことで、

\(ax+b\)（\(a=0\)ではない）

のかたちで表される式のことです。

たとえば、すでに15L入っている水槽に、1分間に2Lずつ水が増えていくときを考えてみます。
\(x\)分後の水槽の水の量を\(y\)Lとすると、
\(x\)と\(y\)について等式を立てると

\(y=2 \times x +15\)
\(y=2x+15\)

と表せます。

このように、\(y\)が\(x\)の一次式になっている関数を、一次関数と呼んでいるのです。

この式の\(x\)の係数、定数項をそれぞれ\(a\)、\(b\)で置き換えると、どんな値にもあてはまる形になります。

\(y=ax+b\)

この式が、一次関数の関数の式の一般形です。

一次関数\(y=ax+b\)の\(a,b\)ってどういう意味？

\(a\)（傾き・変化の割合）とは

水槽の例を、もう一度考えてみます。

\(y=2x+15\)

の式で、\(x\)の係数2は、「1分あたりに増える水の量」でした。
もともと、水の量が\(y\)L、経過時間が\(x\)と考えています。

つまり、\(x\)が\(1\)増加すると、\(y\)は\(2（＝a）\)増加します。
このように、\(a\)は「\(x\)が\(1\)増えたときに、\(y\)がどれだけ変わるか」を表しています。
これを\(x\)の変化に対する\(y\)の変化の割合という意味で、変化の割合と呼びます。
一次関数では「\(x\)がいくつのときでも変化の割合が一定」というのが大きな特徴です。

\(b\)（切片）とは

一方、定数項 15 は、初めに水槽に入っている水の量でした。
言い換えると\(x=0\) のときの水の量と言えます。
つまり、\(b=15\) は「\(x\)が0のときの\(y\)の値」 を表しているのです。

このように、\(a\)や\(b\)には具体的な意味がありますが、グラフを描く際には特別な呼び方があります。

\(b\)は、\(x=0\)のときの\(y\)の値、つまりグラフが\(y\)軸と交わる点であり、切片（せっぺん）と呼ばれます。

\(a\)は、\(x\)の増加に対する\(y\)の変化の割合を表すため、変化の割合、またはグラフの傾きと呼ばれます。

まとめると下表のようになります。

発展：比例と一次関数の違い

比例の式は\(y=ax\)と表されました。

一次関数の式\(y=ax+b\)の\(b\)に0を代入すると
\(y=ax\)となり、比例の式と同じになります。

このことから、比例は一次関数の特別な形で、初めの値（\(b\)）が0である特別な場合ということがわかります。

おわりに

この記事では、一次関数は\(y=ax+b\)で表される関数であること、またその\(a\)や\(b\)の意味について解説しました。

丸暗記する必要はありませんが、「なんとなくイメージできる」ぐらいにしておくと、このあとグラフを見るときに、とても理解しやすくなります。

\(a・b\)のイメージがつかめたら、次は実際に式を使って計算する練習に進みましょう。
\(x\)の値から\(y\)を求めたり、\(y\)の値から\(x\)を求めたりする計算は、この先ずっと使う基本操作です。

👉x・yの求め方は一次関数の式に代入！計算方法と基本の考え方を解説

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一次関数では、\(x\)や\(y\)の扱い方が大事なポイントです。

「解き方は代入だった気がするけど、なぜか手が止まってしまう…」
といった経験はありませんか？

それは、\(x\)や\(y\)を求めるための「たった一つのシンプルな考え方のコツ」が定着していないからです。

この記事では、\(x\)、\(y\)を計算するための代入のルールと考え方のコツを、具体例を用いてわかりやすく整理します。

この記事を読めば、\(x、y\)の求め方もわかって、テストで迷わず考えられる考え方のコツも身に着けられますよ。

基本：一次関数の問題で\(x,y\)はどうやって計算したらいい？

\(x,y\)の計算方法を具体的に見てみよう

たとえば、\(y=-3x-1\)という一次関数を考えます。

\(x=2\)のときの\(y\)の値は、
\(y=-3x-1\)に\(x=2\)を代入して

\(y=-3 \times 2 -1 \\ y=-7\)

逆に\(y=5\)のときの\(x\)の値は
\(y=-3x-1\)に\(y=5\)を代入して

\(5=-3x-1 \\ 3x = -1-5 \\3x = -6\)
両辺を3で割って
\(x = -2\)

と計算できます。

関数は、\(x\)を1つ決めると\(y\)も1つに決まる関係のことです。
一次関数\(y=−3x−1\)も、\(x\)が決まれば\(y\)が1つに決まる関係を表しています。
だから、\(x\)を入れれば\(y\)が出てくるのです。

次は、この\(y=-3x-1\)でもう少し例題を考えてみましょう。

例題で考える！\(x,y\)の計算

【解説】

関数の式\(y=-3x-1\)に\(x=-2\)を代入する。

\(y=-3 \times ( -2)-1 \\ y=6-1 \\ y=5\)

【解説】

関数の式\(y=-3x-1\)に\(y=-4\)を代入する。

\(-4=- 3x-1 \)
\(3x=-1+4 \)
\(3x=3 \)
両辺を3で割って
\(x=1\)

\(x,y\)の計算で気をつけたいミス

\(y\)が与えられて\(x\)を求めるときは、移項や両辺のかけ算、割り算などを行わなければいけません。

たとえば、例題1・2の途中計算を見てみましょう。

例題1
\(y=-3 \times ( -2)-1 \)…①
\(y=6-1 \)…②
\(y=5\)…③

例題2
\(-4=- 3x-1 \)…①
\(3x=-1+4 \)…②
\(3x=3 \)…③
両辺を3で割って
\(x=1\)…④

例題1では移項、式の両辺へのかけ算、割り算はありません。

しかし、例題2では

①→②：
\(-3x\)を左辺から右辺へ移項
\(-4\)を右辺から左辺へ移項

③→④：
両辺を3で割る

といったように、等式の両辺への操作が多いことがわかります。

そのため、次のような操作ミスが増えます。

• 移項時の符号ミス
• 右辺への操作忘れ（例は次の通り）
  \(3x=3\)
  \(x=3\)
  （正しくは\(x=1\)）
• かける数・割る数の間違い（例は次の通り）
  \(\displaystyle \frac{1}{3}x=3 \\ \displaystyle x=1\)
  （正しくは、両辺に3をかけるので\(x=9\)）

符号ミスやかけたり・割ったりする際のミスに注意してください。

\(x,y\)を求める問題での考え方のコツ

「\(x\)、\(y\)の値⇒関数の式が必要」という思考の型は必ず身につけておいてください。

ぼくの経験上ですが、「求め方はわかるけど、問題が出ると手が止まる」という人は、この考え方が定着していないことが多いです。

関数の学習では、\(x\)、\(y\)を求める機会がよくあります。
そのほとんどが、次の2つのうちのどちらかです。

• 関数の式に代入する
• 2つの式が重なる点（交点）として求める—これは後で詳しく解説します

そして、どちらにしても関数の式が必要です。
だから、\(x,y\)を求めたいときは、まず関数の式を探す必要があるのです。

おわりに

\(x\)、\(y\)を求めたいときは、関数の式に値を代入してください。
そして、グラフ上の点を求める方法も実は同じです。

この計算は、高校受験や、高校の学習でも、何度も繰り返し出てきます。

慣れるまで大変だとは思います。
でも、焦らず一歩ずつ確認していけば大丈夫です。
がんばってください。

\(x・y\)の求め方が確認できたら、次は変化の割合に進みましょう。

変化の割合は、一次関数の「変化のスピード」を表す考え方です。\(x・y\)の計算ができていれば、表を使って確実に求められます。
👉一次関数、変化の割合！表を使った確実な計算方法！

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一次関数のまとめに戻る方はこちら
👉【完全攻略】一次関数の解き方・考え方を基礎からじっくり

今回は、一次関数の式から\(x\)や\(y\)を求める問題を通して、考え方の整理と計算の正確さを身につけましょう。

\(x,y\)の計算のポイント

\(x\)、\(y\)の計算方法は、それぞれ次の通りです

この2つを使って、\(x\)、\(y\)を計算していきます。

一次関数の式から\(x,y\)を計算する問題の演習

「代入して計算する」という手順を身につけるのがポイントです。
「\(x,y\)を求めたい⇒関数の式に代入」という考え方を定着させてください。

解説

問1：
一次関数の式に\(x\)を代入して\(y\)を求める。
与えられた式に\(x=2\)を代入すると
\(y=-3 \times 2 +1 \\ y = -5\)

問2：
一次関数の式に\(y\)を代入して\(x\)を求める。
与えられた式に\(y=7\)を代入すると
\(7=-3x+1 \\ 3x = -6 \\ x = -2\)

特に\(y\)の値を求めるときは移項するので、符号間違いに気をつけてください。

解説

問1：
一次関数の式に\(x\)を代入して\(y\)を求める。
与えられた式に\(x=-1\)を代入すると
\(\displaystyle y=\frac{1}{3} \times (-1) -2 \\ \displaystyle y= -\frac{1}{3} -\frac{6}{3} \\ \displaystyle y = -\frac{7}{3} \)

問2：
一次関数の式に\(y\)を代入して\(x\)を求める。
与えられた式に\(y=1\)を代入すると
\(\displaystyle 1=\frac{1}{3}x-2 \\ \displaystyle \frac{1}{3}x=3 \\ \text{両辺に3をかけて} \\ x = 9 \)

問2のような計算では、両辺を3で割って、答えを1とするミスをときどき見かけます。
\(x\)の係数が1になるように両辺に数字をかけてください。

解説

問1：
一次関数の式に\(x\)を代入して\(y\)を求める。
与えられた式に\(x=2\)を代入すると
\(\displaystyle y=-\frac{1}{4} \times 2 +\frac{2}{3} \\ \displaystyle y= -\frac{1}{2} -\frac{2}{3} \\ \displaystyle y = -\frac{3}{6} -\frac{4}{6} \\ \displaystyle y = -\frac{7}{6}\)

問2：
一次関数の式に\(y\)を代入して\(x\)を求める。
与えられた式に\(y=3\)を代入すると
\(\displaystyle 3=-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3} \\ \displaystyle \frac{1}{4}x=\frac{2}{3}-3 \\ \displaystyle \frac{1}{4}x = \frac{2}{3}-\frac{9}{3} \\ \displaystyle \frac{1}{4}x = -\frac{7}{3} \\ \text{両辺に4をかけて} \\ \displaystyle x = -\frac{28}{3} \)

分数になると計算が複雑にはなりますが、計算方法自体は同じです。

おわりに

今回の記事は、関数の式から\(x\)、\(y\)の値を計算する問題の演習記事でした。
関数の式から\(x\)、\(y\)の値を計算したいときは、与えられた値を関数の式に代入すると求められます。

この範囲は、いろいろな問題の基礎になります。
繰り返し演習すれば、必ず解けるようになります。

がんばってください。

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変化の割合の計算では、「変化前」と「変化後」を整理して、それぞれの増加量を求める必要があります。
やることが意外と多く、頭の中だけで考えると混乱してしまうこともありますよね。

こうした“前後の値を比べる”タイプの問題では、表を使って整理するとスッキリ解けることが多いです。

この記事では、変化の割合の問題を表で整理する方法を、例題付きでわかりやすく解説します。

変化の割合の意味と公式（前提知識の確認）

変化の割合は\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合のこと

この知識を使って、問題を考えていきます。

変化の割合の計算って表を使ったらどうやって整理できる？

変化の割合の表を使った整理の手順

変化の割合の表を使った整理方法を具体例で確認

変化の割合の問題では、表を使って\(x\)と\(y\)の変化前・変化後を整理すると分かりやすいです。

たとえば、点(－1, 13)から点(4, 3)に変化したときの変化の割合を計算する場合を考えます。

まず、横の行に\(x\)、\(y\)、縦の列に変化前、変化後、増加量を書いた表を作成します。
（下図参照）

次に、この表に与えられた条件を書き入れます。

変化前の点が(－1, 13)
⇒変化前の\(x=-1、y=13\)

変化後の点が(4, 3)
⇒変化後の\(x=4、y=3\)

なので、条件を書きこむと下図のようになります。

次に、増加量を計算します。
増加量の値は（変化後の値）－（変化前の値）です。

\(x\)の増加量：
4－(－1)=5

\(y\)の増加量：
3－13=－10

符号を考えて、引く順番を変えようとする人がときどきいますが、混乱のもとになるので、「後－前」で徹底してください。

よって、変化の割合は
－10 ÷ 5 = －2

変化の割合に限らず、何かを比較したいときは、表を使うととても考えやすくなりますよ。

変化の割合の求め方を例題で解説

【解説】

\(x\)、\(y\)の表を作成すると、下図のようになる。

変化の割合は
6 ÷ (－2) = －3

【解説】

例題1と違い、例題2では\(x\)の値しかわかっていません。
そのため、まず\(y\)の値を計算する必要があります。

\(x=-1\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times (-1) -3 =-5\)

\(x=4\)を\(y=2x-3\)に代入して
\(y=2 \times 4 -3 =5\)

変化の割合は
10 ÷ 5 = 2

変化の割合の計算の思考ロジック

「変化の割合の計算⇒\(x,y\)の増加量が必要⇒\(x,y\)の計算が必要」という考え方を身に付けてください。

特に例題2のような問題では、考える量が多く、求めたいものから逆算しないと、方針が決まりにくいです。

解説を読んで、「書いてあることはわかるけど、自分では解けない」という方は、おそらく考え方の順序が身についていないのだと思います。

こちらの記事で、変化の割合の問題を考える順序についてまとめています。
どう考えるか、どこから考えるかについて詳しくまとめたので、ぜひ読んでみてください。
👉もう迷わない！逆算思考で考える変化の割合の計算順序

おわりに

今回は、「変化の割合」を表で整理しながら考える方法について解説しました。

最初は少し難しく感じるかもしれませんが、考える順番を身につけて、表を使って条件を整理できるようになれば、必ず解けるようになります。
「どの数どうしを比べればいいのか」を意識できるようになると、計算の意味もはっきりして、問題の見通しがぐっとよくなります。

また、表で前後の変化を比べる力は、数学だけでなく、いろいろな場面で役に立ちます。
焦らずに、まずは1つ1つの考え方を丁寧に整理していきましょう。
少しずつでも確実に、考える力がついていきます。

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変化の割合は、\(x\)と\(y\)の増え方の関係を考える大事なポイント。
けれど最初のうちは、どこから手をつければいいのか分かりにくい単元でもあります。

そこで今回は、変化の割合を段階別に練習できるようにまとめました。
苦手な人でも、ステップを踏んで理解できるようになっています。

変化の割合を求めるための計算

解き方のポイント

変化の割合を計算するときは、次の3つを押さえると考えやすいです。

解説

それぞれのポイントについて簡単に解説します。

変化の割合の計算方法

一応、公式扱いになっていますが、変化の割合の意味がわかっていれば、公式として暗記する必要はありません。
詳しくはこちらの記事で解説しているので、気になったらお読みください。
👉変化の割合とは？公式の意味を例題付きでくわしく解説

増加量の計算

増加量の計算は、「後－前」で計算できます。
よくミスする計算なので、必ずこの順番で計算するようにしてください。

特に見かけるミスは次の2つです。

引く順番を変えてしまう

特に「小さい方から大きい方を引くとき」にやりがちです。
たとえば、\(y\)の値が 5→2に変化するときの\(y\)の増加量の、
正しい計算とよくある間違いは次のようになります。

• 正）
  2－5 = －3
• 誤）
  5－2 = 3

負の数の引き算を間違える

負の数を扱うときは、数字全体にカッコをつけると間違いにくくなります。
たとえば、\(y\)の値が －3→－1に変化するときの\(y\)の増加量の、
正しい計算とよくある間違いは次のようになります。

• 正）
  (－1)－(－3)
  =－1＋ 3
  = 2
• 誤）
  －1－3 =－4

増加量の計算が必要な問題では、表を描いて整理する

前後の比較をするときは、表を書くとうまく変化を整理することができます。
表をつかった考え方について詳しく知りたいときは、次の記事をお読みください。
👉一次関数、変化の割合の計算！表を使った計算の工夫

ここまでで計算の基本を確認できました。
では実際に、問題を使って「変化の割合」を練習してみましょう。

一次関数｜変化の割合の演習

変化の割合の計算方法の確認

増加量の計算が必要な問題

x,yの計算が必要な問題

解説

1)
「後－前」で考える。
5－2 = 3

2)
\(y\)の増加量を計算するためには、\(x\)の値に対応する\(y\)の値が必要

\(x\)=2のとき\(y\)=7
\(x\)=5のとき\(y\)=19

よって\(y\)の増加量は
19－7=12

3)
変化前後の\(x\)、\(y\)の表を書いて考える。

	変化前	変化後	増加量
\(x\)	2	5	3 (=5－2))
\(y\)	7	19	12 (=19－7)

\( \displaystyle \text{変化の割合}=12 \div 3 = 4 \)

解説を読んだらわかるけど、自分では手が動かないという人は、考える順番の問題かもしれません。
詳しくはこちらでまとめてあるので、読んでみてください。
👉もう迷わない！逆算思考で考える変化の割合の計算順序

おわりに

今回の記事は、変化の割合を段階別に練習できるようにまとめた演習の記事でした。

一次関数の変化の割合は、中2数学で特に重要な範囲です。
変化の割合の意味をしっかりわかって、表をつかって、前後の値や増加量を整理できるようになれば、変化の割合が計算できるようになります。

何度か繰り返せば、解き方も身についてきます。
がんばってください。

「一次関数の式 \(y=ax+b\)」に出てくる\(a\)と\(b\)。
この2つの文字には、グラフの形や位置を決める大事な意味があります。

この記事では、グラフの中で\(a\)（傾き）と\(b\)（切片）がどんな役割をしているのかを、実際のイメージとともにわかりやすく整理していきます。

一次関数のグラフって何？

一次関数のグラフは、一次関数の式を満たす点の集まり

関数の式に、\(x\)の値を代入すると、そのときの\(y\)の値が決まります。
この決まった\(x\)、\(y\)を座標にとっていって、線で置き換えたものが関数のグラフです。

関数のグラフの意味についてはこちらの記事で詳しくまとめています。
グラフの意味がわかっていると、グラフ上の点を求めたり、交点を求めたりするときの根拠もよくわかります。
「グラフは式を満たす点の集まり」という言葉の意味がわらなければ、ぜひこちらの記事をお読みください。
👉グラフの基本！「グラフは式を満たす点の集まり」の意味を図解で解説

一次関数の\(a,b\)はグラフ上でどういう役割をしている？

ここからは、それぞれ\(a,b\)のそれぞれについて見ていきます。

\(a\)（傾き）について

一次関数の一般形は、次のように表されます。

\(y=ax+b\)…①

そして、①の\(x\)にいくつも値を代入して、求めた\(y\)を座標にとっていくと、一次関数のグラフができます。

つまり、\(x\)が\(1\)増加すると、\(y\)は\(a\)増加します。
\(y\)は\(x\)の増加に対して一定の割合で増加（または減少）するため、グラフはまっすぐな直線になります。
この\(x\)が1増加したときの増加量\(a\)を、グラフの傾きと呼びます。

一次関数の「グラフの傾き」と「変化の割合」についての整理

グラフの傾きは「\(x\)が1増加した時の\(y\)の増加量」のこと。
一方変化の割合も「\(x\)の増加量に対する\(y\)の増加量の割合」のことで、言い換えると「\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量」のことでした。

そのため、一次関数においては、グラフの傾きと変化の割合は一致すると言えます。

そのため、よくこの2つを混同してしまうことがよくあります。
そこで、しっかり区別しておいてほしいのですが、まず「傾き」はグラフ上での直線の様子を表す言葉です。
だから、直線のグラフ以外で使うことはありません。

一方、変化の割合は、「\(x\)の増え方に対して\(y\)の増え方はどうなっているか」を計算したものです。
そのため、変化の割合は計算で出してきた値であり、一次関数以外の関数についても考えることができます。

たとえば、「反比例のグラフの傾き」というものは存在しません。
しかし、「反比例の式で\(x\)が1から3に増加したときの変化の割合」は計算で求めることができるのです。

「変化の割合って何だっけ？」と思われた方はこちらの記事をお読みください。
変化の割合の意味からはじめて、基本の計算方法までをまとめています。
👉変化の割合とは？意味から計算方法までをやさしく解説

\(b\)（切片）について

\(x=0\)を①に代入すると、\(y=b\)となります。
つまり、グラフは点\((0, b)\)、すなわち\(y\)軸上の高さ\(b\)の点を必ず通ります。
この\(b\)のことを切片といいます。

\(a,b\)の役割を図解で確認

グラフ上での動きを図で見ると、下図のようになります。
「\(a\)は\(x\)が1増加したときの\(y\)の増加量」、「切片は\(y\)軸を通る高さ」の意味を、図と一緒に確認してみてください。

おわりに

今回の記事では、一次関数のグラフを形づくる2つの要素、傾き（\(a\)）と切片（\(b\)）、
そして傾きと変化の割合の関係について整理しました。

どれも一次関数のグラフを理解するうえで欠かせない基礎です。
次の記事では、この知識を使って「式からグラフを描く」練習に進みます。
「切片をとる⇒傾きからもう1点をとる」の順で考えると、グラフはすぐに描けるようになります。

ぜひ、今回の内容を思い出しながら読み進めてみてください。

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