【定期テスト対策・中2数学】一次関数とは何か？a,bの意味をわかりやすく解説

「一次関数って、いったい何だろう？」
そんなこと、考えたことはありませんか？

中2数学で学ぶ「一次関数」は、テストによく出る重要な単元です。
一次関数とは、\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数のことを指します。

一次関数の単元では、関数の式の扱い方やグラフの描き方など、さまざまなことを学びます。
この記事では、その基本として、一次関数とは何か、そしてその意味は何かについてについてわかりやすく解説していきます。

関数と関数の式

関数とは、「\(x\)を1つ決めると、それに対応して\(y\)が1つに決まるときのルール（きまり）」のことです。

また、関数を式として表したものが関数の式です。
「\(x\)と\(y\)の関係を数式で書いたもの」と考えるとわかりやすいと思います。

「関数とは」「関数の式」については、関数とは何か？関数の基本の考え方をわかりやすく解説を参考にしてください。

一次関数とは、\(y\)が\(x\)の一次式で表される関数のこと

一般形：\(y=ax+b\)

関数のうち、\(y\)が\(x\)の一次式（\(x\)が1乗で出てくる式）で表される関数を一次関数と呼びます。

たとえば、すでに15L入っている水槽に、1分間に2Lずつ水が増えていくときを考えてみます。
\(x\)分後の水槽の水の量を\(y\)Lとすると、
\(x\)と\(y\)について等式を立てると

\(y=2 \times x +15\)
\(y=2x+15\)

と表せます。

このように、\(y\)が\(x\)の一次式になっている関数を、一次関数と呼んでいるのです。

この式の\(x\)の係数、定数項をそれぞれ\(a\)、\(b\)で置き換えると、どんな値にもあてはまる形になります。

\(y=ax+b\)

この式が、一次関数の関数の式の一般形です。

一次関数\(y=ax+b\)の\(a\)、\(b\)の意味

水槽の例を、もう一度考えてみます。

\(y=2x+15\)

の式で、\(x\)の係数2は、「1分あたりに増える水の量」でした。
もともと、水の量が\(y\)L、経過時間が\(x\)と考えています。

つまり、\(x\)が\(1\)増加すると、\(y\)は\(2（＝a）\)増加します。
このように、\(a\)は「\(x\)が\(1\)増えたときに、\(y\)がどれだけ変わるか」を表しています。

一方、定数項 15 は、初めに水槽に入っている水の量でした。
言い換えると\(x=0\) のときの水の量と言えます。
つまり、\(b=15\) は「\(x\)が0のときの\(y\)の値」 を表しているのです。

\(a\)は傾き、\(b\)は切片という呼び方があります。
これは、グラフ上での呼び方なので、グラフの説明でまた詳しく述べます。

比例の式は\(y=ax\)と表されました。

一次関数の式\(y=ax+b\)の\(b\)に0を代入すると
\(y=ax\)となり、比例の式と同じになります。

このことから、比例は一次関数の特別な形で、初めの値（\(b\)）が0である特別な場合ということがわかります。

この記事では、一次関数は\(y=ax+b\)で表される関数であること、またその\(a\)や\(b\)の意味について解説しました。

丸暗記する必要はありませんが、「なんとなくイメージできる」ぐらいにしておくと、このあとグラフを見るときに、とても理解しやすくなります。

がんばって、整理してみてください。